Sandsynlighedsregning og kombinatorik

Hvor beskrivende statistik omhandler behandling af datasæt, man allerede har indsamlet, handler sandsynlighedsregning om at forudsige, hvilke værdier et datasæt vil have, før man indsamler data. Med andre ord kan man sige, at statistik handler om at beskrive fortiden, mens sandsynlighedsregning handler om at forudsige fremtiden. I dette modul vil blive behandlet, hvordan statistik og kombinatorik kan bruges til at forudsige sandsynligheden for en hændelse. Overskrifterne for det der bliver gennemgået er følgende:

• Sandsynlighedsregning
  • Hvad er sandsynlighed?
  • Symmetrisk sandsynlighedsfelt
  • Hændelser
• Kombinatorik
  • Multiplikationsprincippet for antal valgmuligheder
  • Fakultet
  • Kombinationer

Sandsynlighedsregning

Hvad er sandsynlighed?

Sandsynlighedsregning handler om at forudsige udfaldet af et eksperiment (f.eks. hvilket tal man får, når man slår med en terning). Sandsynligheden for en bestemt værdi er den forudsagte andel af alle udfald ved eksperimentet, der vil have den pågældende værdi, hvis eksperimentet gentages (f.eks. andelen af 1’ere ved terningekast). Der er tre forskellige måder at bestemme sandsynligheden for et udfald på. (1) Kombinatorisk sandsynlighed beregnes ud fra kendskab til antallet af mulige udfald. For eksempel, kan man bestemme sandsynligheden for at få plat med en mønt til 50%, fordi man ved, at der er to mulige udfald. (2) Statistisk sandsynlighed beregnes ud fra et observationssæt. Dette kan gøres ved et eksperiment, hvor man forventer samme sandsynlighed for udfaldene, hver gang eksperimentet gentages. Sandsynligheden bestemmes ved at gentage eksperimentet et stort antal gange. Frekvensfordelingen for de forskellige værdier i observationssættet svarer til sandsynligheden for de forskellige udfald. (3) Subjektiv sandsynlighed afspejler en personlige vurdering af, hvor sandsynligt et givent udfald er. Denne sandsynlighed vil være mere retvisende desto bedre erfaringsgrundlag, den pågældende person har for at kunne forudsige udfaldet af begivenheden. For eksempel, vil en erfaren aktieanalytiker have gode forudsætninger for at vurdere sandsynligheden for om en bestemt aktie stiger eller falder, og en meteorolog vil have gode forudsætninger for at vurdere sandsynligheden for, at det bliver regnvejr i næste uge.

ØVELSE: SANDSYNLIGHEDSBEGREBER

Symmetrisk sandsynlighedsfelt

For et givent eksperiment (begivenhed) omtales de mulige udfald som udfaldsrummet. For eksempel, er udfaldsrummet ved kast med en terning tallene ét til seks (skrives $U=\{1,2,3,4,5,6\}$). Sandsynligheden for de enkelte udfald omtales som sandsynlighedsfordelingen ($P(X=1)$ angiver sandsynligheden for, at udfaldet er $1$). Samlet kaldes et udfaldsrum med den tilhørende sandsynlighedsfordeling for et sandsynlighedsfelt. I tilfælde, hvor sandsynligheden er den samme for alle udfald, siges det, at man har et symmetriske sandsynlighedsfelt:

Symmetrisk sandsynlighedsfelt

Et sandsynlighedsfelt $(U,P)$ kaldes symmetrisk, hvis der er samme sandsynlighed for alle udfald. Sandsynligheden for et udfald $u$ er givet som én divideret med antallet af elementer i $U$:

$$ P(X=u) = \frac{1}{|U|} $$

Notationen $|U|$ betyder antallet af elementer i mængden $U$.

For eksempel vil sandsynligheden for at slå 1 med en symmetrisk $6$-sidet terning være $1/6$; og sandsynligheden for at slå plat med en symmetrisk mønt vil være $1/2$ (50%).

ØVELSE: SYMMETRISK SANDSYNLIGHEDSFELT

Hændelser

En hændelse henviser til flere forskellige udfald i udfaldsrummet. For eksempel vil sandsynligheden for at slå et lige tal med en almindelig terning svarer til sandsynligheden for hændelsen $2$, $4$ eller $6$ (hændelsen skrives $\{2,4,6\}$). Sandsynligheden vil være $3$ gange $1/6$, da der er $3$ udfald i hændelsen (50%). Generelt gælder følgende simple regel, når man skal bestemme sandsynligheden for en hændelse i et symmetrisk sandsynlighedsfelt:

Sandsynlighed for hændelse

Sandsynligheden for en hændelse $A$ i et symmetrisk sandsynlighedsfelt $(U,P)$ er givet som antallet af gunstige udfald $|A|$ divideret med det samlede antal udfald $|U|$:

$$ P(A) = \frac{|A|}{|U|} $$

Sandsynligheden for hændelsen, at man slår 1 eller 4 med en terning ($\{1,4\}$), vil være en $1/3$ da:

$$ P(X=1 \ eller \ X=4) = \frac{|\{1,4\}|}{|\{1,2,3,4,5,6\}|} = \frac{2}{6} = 1/3 $$

ØVELSE: HÆNDELSER

Kombinatorik

Multiplikationsprincippet for antal valgmuligheder

Kombinatorik omhandler bestemmelse af antal valgmuligheder (f.eks. antallet af måder man kan trække $2$ bolde fra en skål med $5$ bolde). Kombinatorik kan ofte bruges til at bestemme antallet af elementer i en hændelse, hvilket er afgørende for bestemmelse af sandsynligheden (kombinatorisk sandsynlighed). En vigtig regel inden for kombinatorik er multiplikationsprincippet.

Multiplikationsprincippet for antal valgmuligheder

Hvis man har to variabler $X$ og $Y$, hvor $X$ kan have $n$ forskellige værdier, og $Y$ kan have $m$ forskellige værdier, er det samlede antal valgmuligheder givet som $n·m$.

For eksempel, hvis man slår med en rød og en blå terning, vil det samlede antal valgmuligheder for hvilke udfald terningerne kan slå være $36$ ($6·6$). Tilsvarende vil sandsynligheden for at slå et bestemt slag være $1/36$ (f.eks. at slå to 5’er).

ØVELSE: MULTIPLIKATIONSPRINCIPPET

Fakultet

En vigtig regneoperation indenfor kombinatorik er fakultet, der er defineret som:

Fakultet

Fakultet af et positivt heltal $n$ er defineret som produktet af tallet og alle positive hele tal, som er mindre end tallet:

$$n! = n \cdot (n-1) \cdots 2 \cdot 1$$

Fakultet af tallet $0$ er defineret til at være $1$:

$$0! = 1 $$

Fakultet kan i sig selv anvendes til at bestemme antallet af rækkefølger af en række elementer. For eksempel i hvor mange forskellige rækkefølger, man kan skrive bogstaverne A, B og C. Svaret er $3! = 6$ (ABC, ACB, BAC, BCA, CAB og CBA).

ØVELSE: FAKULTET

Kombinationer

Når et antal elementer udtages af et større antal elementer kaldes en bestemt udtagning for en kombination. For eksempel vil udtagning af $3$ elever i en klasse på $28$ elever være et eksempel på en kombination af elever fra klassen. Antallet af kombinationer kan bestemmes med følgende formel:

Kombinationer

Antallet af forskellige udtagninger af r elementer fra en pulje på n elementer (antal kombinationer) kan bestemmes med følgende formel:

$$ K(n,r) = \frac{n!}{r!(n-r)!} $$

I tilfældet, hvor $10$ elever udtages fra en klasse på $15$, vil antallet af kombinationer være givet som:

$$ K(15,10) = \frac{15!}{10!(15-10)!} = 3.003 $$

ØVELSE: KOMBINATIONER

Opsamling

I dette modul er blevet introduceret sandsynlighedsregning og kombinatorik. Ved gennemgang af dette modul har du fået en forståelse for følgende:

• Hvad der forstås ved sandsynligheden af et udfald
• Symmetrisk sandsynlighedsfelt
• Sandsynligheden af en hændelse bestående af flere udfald
• Multiplikationsprincippet og antal valgmuligheder
• Bestemmelse og anvendelse af fakultet
• Antal kombinationer

TEST: SANDSYNLIGHEDSREGNING OG KOMBINATORIK

Opgaver

OPGAVE: Sandsynlighedsregning og Kombinatorik

OPGAVE: Opsamling Beskrivende statistik

Eksterne links

• Find den statistiske sandsynlighed
• Symmetrisk sandsynlighedsfelt
• Sandsynlighed og hændelser
• Tælletræer
• Fakultet
• Kombinationer