- 998 (Registered)
-
(0 Reviews)
Introduktion til vektorer
Dette modul vil give en introduktion til vektorer. Dette er simple geometriske størrelser, der har mange egenskaber tilfælles med tal. Overskifterne er:
- Hvad er en vektor?
- Definition og repræsentation af vektorer
- Længde af en vektor
- Vektorregning
- Sum og differens af vektorer
- Tal ganget med en vektor
Hvad er en vektor?
Definition og repræsentation af vektorer
Vektorer er størrelser, der kan anvendes til at beskrive fænomener, der både er karakteriseret ved at have en talværdi og en retning (f.eks. kræfter og hastigheder). En oplagt måde at fortolke vektorer på er at se dem som pile, der jo netop er karakteriseret ved at have en retning og en længde:
Vektor
En vektor er en størrelse med en længde og en retning. Alle pile med den samme retning og den samme længde er repræsentation for den samme vektor. Notationen for en vektor er et bogstav med en pil eller en streg over, eller et bogstav skrevet med fed skrift:
$$ \overrightarrow{a}, \ \ \overline{a}, \ \ \bf{a} $$
En alternativ måde at repræsentere vektorer på, end med en pil, er med et koordinatsæt, der beskriver længden af pilen i x– og y-retningen i et givent koordinatsystem. Denne repræsentation er typisk lettere at behandle matematisk end repræsentationen ved hjælp af pile:
Vektorkoordinator
En planvektor a i et koordinatsystem kan repræsenteres med et kolonnekoordinatsæt, hvor koordinaterne repræsenterer længden i x-aksens og y-aksens retning:
$$ \overrightarrow{a} = \begin{pmatrix} a_x \\ a_y \end{pmatrix} $$
En alternativ repræsentation er som et almindeligt koordinatsæt afsluttet med opløftet t : $(a_x,a_y)^t$.
For eksempel, hvis en bold har en lodret hastighed på 7 m/s og en vandret hastighed på 10 m/s, vil koordinatrepræsentationen for boldens hastighed være $(7,10)^t$.
Hvis en repræsentationen for en vektor er en pil, der går mellem to kendte punkter, kan koordinatsættet, der repræsenterer vektoren bestemmes vha. af følgende formel:
Vektorkoordinator bestemt ud fra endepunkter af pil
Vektoren AB, med begyndelsespunktet $A =(x_1,y_1)$ og endepunktet $B =(x_2,y_2)$, har koordinatsættet:
$$ \overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} x_2 – x_1 \\ y_2 – y_1 \end{pmatrix} $$
For eksempel vil vektoren, der repræsenteres med pilen fra punktet $(2,3)$ til punktet $(5,7)$, have koordinatsættet:
$$ \begin{pmatrix} 5 – 2 \\ 7 – 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} $$
En særlig vektor er nulvektoren, der har vektorkoordinaterne $(0,0)^t$. Da den hverken har en længde eller en retning, bliver den kaldt en uegentlig vektor:
Nulvektor
Nulvektoren o er vektoren med længden $0$, og ingen retning:
$$ \overrightarrow{o} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} $$
Alle andre vektorer end nulvektoren kaldes egentlige vektorer (vektorer med en længde og en retning).
En anden klasse af vektorer er enhedsvektorer, der er karakteriseret ved at have en længde på $1$:
Enhedsvektor
En vektor e der har en længde på $1$, kaldes en enhedsvektor.
Eksempler på enhedsvektorer der ofte bliver brugt er $\mathbf{i}=(1,0)^t$ og $\mathbf{j}=(0,1)^t$ (begge har en længde på $1$).
ØVELSE: INTRODUKTION TIL VEKTORER
Længde af en vektor
Længden af en vektor kan nemt bestemmes ud fra vektorens koordinator vha. følgende formel:
Længden af en vektor
Lad en vektor a have koordinaterne $(a_1,a_2)^t$. Da kan længden af vektoren |a| bestemmes ud fra formlen:
$$ |\overrightarrow{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2} $$
For eksempel, hvis en kræftvektor F har koordinaterne $(3,4)^t$ ($3$ Newton i x-retning og $4$ Newton i y-retning), vil kræften i vektorens retning være:
$$ |\overrightarrow{F}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5 $$
Det vil sige, at den samlede kræft er $5$ Newton.
Vektorregning
Sum og differens af vektorer
Vektorer er geometriske størrelser, der har mange egenskaber tilfælles med tal. En væsentlig lighed med tal er, at vektorer kan adderes og trækkes fra hinanden:
Sum og differens af vektorer
Summen af vektor a og b (a+b) er den vektor, der har sit begyndelsespunkt i begyndelsespunktet for vektor a og sit endepunkt i endepunktet for vektor b, når b‘s begyndelsespunkt er i endepunktet af vektor a.
Differensen af vektor a og b (a–b) er den vektor, der har sit begyndelsespunkt i endepunktet for vektor b og sit endepunkt i endepunktet for for vektor a, når a og b har samme begyndelsespunkt.
Når man kender koordinaterne for to vektorer, kan summen og differensen af vektorer nemt findes, vha. af operationer der minder om sum og differens for almindelige tal:
Sum og differens af vektorer ud fra koordinator
Hvis koordinaterne for vektor a er $(a_1,a_2)^t$, og koordinaterne for vektor b er $(b_1,b_2)^t$, kan summen og differensen bestemmes som summen eller differens af x-koordinaterne og y-koordinaterne for de to vektorer:
$$ \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_1 + b_1 \\ a_2+b_2 \end{pmatrix} $$
$$ \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix} – \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_1 – b_1 \\ a_2-b_2 \end{pmatrix} $$
Der gælder, som for almindelige tal, at rækkefølgen, hvorved vektorer lægges sammen er ligegyldigt (den kommutative og associative lov):
Kommutative og associative lov for addition
Der gælder, at rækkefølgen hvorved to vektorer a og b lægges sammen er ligegyldigt (kommutative lov):
$$ \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} = \overrightarrow{b}+\overrightarrow{a} $$
Det er entydigt, hvad der menes med summen af vektor a, b og c (associative lov):
$$ (\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})+\overrightarrow{c} = \overrightarrow{a}+(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}) $$
Hvis man trækker en vektor a fra nulvektoren (o–a), opnår man en vektor med samme længde som a, men med den modsatte retning (angives –a):
Modsat vektor
For en vektor a er den modsatte vektor –a, vektoren der har samme længde som vektoren, men modsatte retning (a +(–a) = o).
For eksempel vil den modsatte vektor til $(1,20)^t$ være $(-1,-20)^t$.
ØVELSE: SUM OG DIFFERENS AF VEKTORER
Tal ganget med en vektor
Vektorer kan manipuleres ved at gange dem med tal. For eksempel, når en vektor a ganges med 5, resulterer det i, at a bliver 5 gange længere:
Vektor ganget med et tal
Lad a være en vektor og t et tal, der er forskellig fra 0. Ved vektor a ganget med tallet t, ta, forstås den vektor, der er parallel med a og er t gange længere end a.
Hvis t er positiv er a og ta ensrettede. Hvis t er negativ er a og ta modsatrettede. I tilfældet, hvor t er 0, vil ta være nulvektoren o.
Vektorkoordinaterne for vektor ta er givet som vektorkoordinaterne for a ganget med t:
$$ t \cdot \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} t \cdot a_1 \\ t \cdot a_2 \end{pmatrix} $$
For eksempel, hvis vektoren $(1,2)^t$ ganges med tallet $-1$ fås den modsatte vektor $(-1,-2)^t$.
Der gælder følgende regneregler for vektorer ganget med tal:
Regneregler for vektorer ganget med tal
Lad s og t være tal og a og b vektorer. Da gælder følgende:
$$ t(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}) = t\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b} $$
$$ (s+t)\overrightarrow{a} = s\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{a} $$
$$ s(t\overrightarrow{a}) = t(s\overrightarrow{a}) = (st)\overrightarrow{a} $$
Opsamling
Dette modul har givet en introduktion til vektorbegrebet. Du har nu fået en forståelse for følgende:
- En vektor er en størrelse med en længde og en retning
- En vektor kan præsenteres med en pil og med et koordinatsæt
- Bestemmelse af længden af en vektor
- Sum og differens af vektorer
- Vektor ganget med et tal
TEST: INTRODUKTION TIL VEKTORER
Opgaver
OPGAVE: Introduktion til vektorer