Pythagoras sætning

I dette modul gennemgås Pythagoras sætning, en af de mest anvendte sætninger inden for geometri. Overskrifterne er:

Pythagoras sætning
Afstandsformlen

Pythagoras sætning

For en retvinklet trekant er der et særligt forhold mellem længderne af kateterne og hypotenusen. Dette forhold beskrives med Pythagoras sætning:

Pythagoras sætning

For en retvinklet trekant gælder der, at summen af kvadraterne af kateterne a og b er det samme som kvadratet af hypotenusen c:

$$ c^2 = a^2+b^2 $$

Pythagoras sætning kan bruges til at bestemme længden af hypotenusen, når længden af kateterne er kendt. For eksempel i en retvinklet trekant, hvor kateterne er 2 og 7 vil hypotenusen c kunne bestemmes:

$$ c^2 = 2^2 + 7^2 = 4 + 49 = 53 $$

$$ c = \sqrt{53} = 7,280 $$

Ved omskrivning af Pythagoras sætning kan den ligeledes bruges til at bestemme en katete a når hypotenusen c og den anden katete b kendes:

$$ a^2 = c^2 – b^2 $$

For eksempel, hvis hypotenusen er 5 og den anden katete er 3, kan kateten a bestemmes:

$$ a^2 = 5^2 – 3^2 = 25-9 = 16 $$

$$ a = \sqrt{16} = 4 $$

ØVELSE: PYTHAGORAS SÆTNING

Afstandsformlen

Pythagoras sætning kan bruges til at udlede følgende formel til bestemmelse af afstanden mellem to punkter i et koordinatsystem:

Afstandsformlen

To punkter har koordinatsættet (x₁,y₁) og (x₂,y₂). Da gælder der, at afstanden mellem punkterne (d) er givet ved følgende formel:

$$ d = \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2} $$

For eksempel kan man bestemme afstanden mellem punkter (2,3) og (5,7):

$$ d = \sqrt{ (5-2)^2+(7-3)^2 } = \sqrt{ 3^2+4^2 } = \sqrt{ 9+16 } = \sqrt{ 25 } = 5 $$

Det vil sige, at afstanden mellem de to punkter er 5.

ØVELSE: AFSTANDSFORMLEN

Opsamling

Dette modul har givet en introduktion til Pythagoras sætning, herunder hvorledes man bestemmer afstanden mellem to punkter. Ved gennemgang af dette modul har du har fået en forståelse for: