- 998 (Registered)
-
(0 Reviews)
Introduktion til andengradspolynomier
Dette er det første modul om polynomier. Overskrifterne er:
- Andengradspolynomium
- Polynomier af højere grad
Andengradspolynomium
Forskrift for et andengradspolynomium
Et andengradspolynomium (også kaldet en andengradsfunktion) er en funktion, hvor forskriften har et led, der indeholder $x^2$:
Andengradspolynomium
Et andengradspolynomium er en funktion, der har en forskrift af typen
$$ f(x) = ax^2+bx+c $$
hvor a er forskellig fra 0.
Det er en betingelse, at a ikke er 0, da ledet med $x^2$ ellers vil forsvinde ($0 \cdot x^2=0$). Et eksempel på forskriften for et andengradspolynomium er $f(x)=2x^2+6x+9$ ($a=2$, $b=6$ og $c=9$).
En talværdi der kan udledes fra koefficienterne i forskriften for et andengradspolynomium, og som, vi vil se, har betydning for polynomiets egenskaber er diskriminanten d:
Diskriminanten for et andengradspolynomium
Diskriminanten for et andengradspolynomium $f(x)=ax^2+bx+c$ er defineret som
$$ d = b^2-4ac $$
For polynomiet $f(x)=2x^2+6x+9$ vil diskriminanten kunne bestemmes ud fra formlen:
$$ d = 6^2-4 \cdot 2 \cdot 9 = -36 $$
Som vi vil se i næste afsnit, vil man på baggrund af denne værdi kunne konkludere, at grafen for polynomiet ikke har nogle nulpunkter (skæring med x-aksen).
ØVELSE: FORSKRIFT FOR ET ANDENGRADSPOLYNOMIUM
Grafen for et andengradspolynomium (en parabel)
Grafen for et andengradspolynomium omtales som en parabel. Dette er en bueformet graf med ét maksimum eller minimum (toppunktet), som er symmetrisk omkring en lodret linje, der går gennem toppunktet (symmetriaksen). De to dele af grafen der udgår fra toppunktet omtales som grenene eller benene. Der er en sammenhæng mellem størrelsen af konstanterne a, b, c og d og udseendet af parablen, som vil blive beskrevet i det følgende.
Fortegnet for koefficienten a har betydning for om parablens grene krummer opad eller nedad:
Krumning af parabel (betydning af a)
For en parabel med forskriften $f(x)=ax^2+bx+c$ har fortegnet af a betydning for om parablens grene krummer opad eller nedad:
$a \gt 0$: Parablens grene krummer opad (positiv krumning). Man siger, at parablen er konveks eller glad.
$a \lt 0$: Parablens grene krummer nedad (negativ krumning). Man siger, at parablen er konkav eller sur.
For eksempel, kan man om parablen med forskriften $f(x)=2x^2+6x+9$ sige, at parablen er konveks, da a er større en 0 ($a=2$).
Koefficienten c er det samme som parablens skæring med y-aksen:
Parabels skæring med y-aksen (betydning af c)
For en parabel med forskriften $f(x)=ax^2+bx+c$ vil værdien af c være det samme som skæringen med y-aksen ($f(0)=c$). Med andre ord går parablen gennem punktet $(0,c)$.
Det vil sige, at parablen med forskriften $f(x)=2x^2+6x+9$ går gennem punktet $(0,9)$, da $c=9$.
Fortegnet for koefficienten b har betydning for om parablen er voksende eller aftagende, når x er 0:
Vækst af parabel for x=0 (betydning af b)
For en parabel med forskriften $f(x)=ax^2+bx+c$ har fortegnet af b betydning for, om tangenten til parablen i punktet $(0,c)$ er voksende eller aftagende:
$b \gt 0$: Tangenten i punktet$(0,c)$ har en positiv hældning. Man siger, at andengradspolynomiet er voksende for $x=0$.
$b = 0$: Tangenten i punktet $(0,c)$ er vandret. Man siger, at andengradspolynomiet hverken er voksende eller aftagende for $x=0$.
$b < 0$: Tangenten i punktet $(0,c)$ har en negativ hældning. Man siger, at andengradspolynomiet er aftagende for $x=0$.
Det vil sige, at parablen med forskriften $f(x)=2x^2+6x+9$ er voksende i punktet $(0,0)$, da $b=6$ ($b \gt 0$).
Skæringspunkterne mellem grafen for et polynomium og x-aksen kaldes rødder for polynomiet (eller nulpunkter). Der er følgende sammenhæng mellem fortegnet af diskriminanten d og antallet af rødder:
Antallet af rødder (betydning af d)
For en parabel med forskriften $f(x)=ax^2+bx+c$ har fortegnet af diskriminanten d betydning for, antallet af steder parablen skærer x-aksen:
$d > 0$: Parablen skærer x-aksen to steder. Man siger, at andengradspolynomiet har to rødder.
$d = 0$: Parablen rører x-aksen ét sted. Man siger, at andengradspolynomiet har én rod.
$d < 0$: Parablen rører ikke x-aksen. Man siger, at andengradspolynomiet ikke har nogle rødder.
Diskriminanten for andengradspolynomiet $f(x)=2x^2+6x+9$ kan ud fra koefficienterne i forskriften bestemmes til at være $-36$. Det vil sige, at polynomiet ingen rødder har, da diskriminanten er negativ ($d<0$).
ØVELSE: GRAF FOR ANDENGRADSPOLYNOMIUM
Polynomier af højere grad
I tråd med definitionen for andengradspolynomier vil et polynomium af tredje grad være en funktion, der ineholder et led med $x^3$. Den generelle definition af polynomier er følgende:
Polynomium af n‘te grad
Et n‘te-gradspolynomium er en funktion, der har en forskrift af typen
$$ f(x) = a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+…+a_1x+a_0 $$
hvor $a_n$ er forskellig fra $0$.
For eksempel, vil funktionen med forskriften $f(x)=3x^4+x^3–2x^2+7x–9$ være et fjerdegradspolynomium ($a_4=2$, $a_3=1$, $a_2=–2$, $a_1=7$ og $a_0=–9$). Bemærk, at ifølge definitionen vil et førstegradspolynomium ($n=1$) svarer til en lineær funktion (f.eks. $f(x)=3x–4$), og et nultegradspolynomium ($n=0$) vil svarer til en funktion, hvor funktionsværdien er konstant (f.eks. $f(x)=7$).
ØVELSE: POLYNOMIER AF HØJERE GRAD
Opsamling
Dette modul har givet dig kendskab til forskriften og udseendet af grafen for andengradspolynomier. Ved gennemgang af modulet har du fået en forståelse for følgende:
- Forskriften for polynomier, herunder andengradspolynomier
- At grafen for et andengradspolynomier kaldes en parabel og er kendetegnet ved at have et toppunkt og to grene
- Sammenhængen mellem koefficienterne i et andengradspolynomium (a, b og c) og udseendet af parablen
- Definition af diskriminanten for et andengradspolynomium
- Anvendelse af diskriminanten til at forudsige antallet af rødder (nulpunkter) for et andengradspolynomium
TEST: INTRODUKTION TIL ANDENGRADSPOLYNOMIER
Opgaver
OPGAVE: Introduktion til andengradspolynomier