Opsparinger

Dette modul omhandler annuitetsopsparinger – opsparinger der løbende indbetales til. I dette modul vil blive introduceret:

• Hvad er en annuitetsopsparing?
• Formel til bestemmelse af fremtidsværdien af en annuitet (opsparingsformlen)
• Omskrivninger af opsparingsformlen

Opsparing – fremtidsværdi af en annuitet

Opsparingsformlen – Bestemmelse af fremtidsværdien af en annuitet

Det beløb der er på en fastforrentet opsparing, hvor der med faste mellemrum indbetales en bestemt ydelse omtales som fremtidsværdien af en annuitet. Efter et kendt antal indbetalinger kan beløbet bestemmes med følgende formel:

Opsparingsformlen – fremtidsværdi af en annuitet

På en konto, hvor renten r er konstant, og hvor der hvert termin indbetales en ydelse y, kan saldoen A_n efter n indbetalingen bestemmes med opsparingsformlen:

$$ A_n = y \frac{(1 + r)^n – 1}{r} $$

A_n kaldes fremtidsværdien af en annuitet.

For eksempel, hvis en person indbetaler 1.000 kr. per måned på en pensionsopsparing med en månedlig rente på 0,8% kan formlen benyttes til at bestemme, hvor meget pension der er sparet op efter 37 indbetalinger (3 år):

$$ A_{37} = 1.000 \frac{(1 + 0,008)^{37} – 1}{0,008} = 42.860,96 $$

Af den samlede opsparing vil 37.000 kr. være indbetalte ydelser og 5.860 kr. vil være tilskrevet renter.

ØVELSE: BESTEMMELSE AF FREMTIDSVÆRDIEN AF EN ANNUITET

Omskrivning af opsparingsformlen – bestemmelse af y, n og r

Formlen kan omskrives således, at man får eksplicitte udtryk til bestemmelse af ydelsen y eller antal indbetalinger n:

Formler til bestemmelse af y og n

Formel til bestemmelse af ydelsen:

$$ y = A_n \frac{r}{(1 + r)^n – 1} $$

Formel til bestemmelse af antal indbetalinger:

$$ n = \frac{log(\frac{A_n \cdot r}{y}+1)}{log(1+r)} $$

Der findes ikke nogen formel til bestemmelse af renten r. Renten skal bestemmes grafisk eller som løsning til en ligning vha. et CAS-værktøj. I det følgende vil blive vist eksempler på bestemmelse af y, n og r.

Bestemmelse af ydelsen y

Kendte størrelser: A_n=100.000 kr.; r=1%; n=100

Formlen til bestemmelse af ydelsen anvendes:

$$ y = 100.000 \frac{0,01}{(1 + 0,01)^{100} – 1} = 586,57 $$

Det vil sige ydelsen for den pågældende annuitetsopsparing er på 586,57 kr.

ØVELSE: BESTEMMELSE AF YDELSEN

Bestemmelse af antal ydelser n

Kendte størrelser: A_n=100.000 kr.; y=1.000 kr.; r=1%

Formlen til bestemmelse af antal indbetalinger anvendes:

$$ n = \frac{log(\frac{100.000 \cdot 0,01}{1.000}+1)}{log(1+0,01)} = 69,7 $$

Antallet af ydelser er knap 70. Dette svarer til, at der indbetales 69 ydelser á 1.000 kr. og én sidste ydelse, der er mindre end 1.000 kr.

ØVELSE: BESTEMMELSE AF ANTAL INDBETALINGER

Bestemmelse af renten r

Kendte størrelser: A_n=100.000 kr.; y=1.000 kr.; n=100

Der findes ikke nogen formel til bestemmelse af renten. Renten må derfor bestemmes numerisk vha. en computer eller ved at “gætte” sig frem. I det konkrete tilfælde er renten 0%.

ØVELSE: BESTEMMELSE AF RENTEN

Opsamling

Dette modul har givet en introduktion til annuitetsregning og opsparinger. Modulet har givet en forståelse for følgende:

• Opsparingsformlen
• Bestemmelse af fremtidsværdien af en annuitet A_n
• Bestemmelse af ydelsen y
• Bestemmelse af antal indbetalinger n
• Bestemmelse af renten r

TEST: OPSPARING

Opgaver

OPGAVE: Opsparing

Eksterne links

• Opsparingsformlen
• Omskrivning af opsparingsformlen