- 998 (Registered)
-
(0 Reviews)
Introduktion til potensfunktioner
Dette modul introducerer potensfunktioner. Her vil blive gennemgået det mest grundlæggende inden for emnet potensfunktioner:
- Definition af en potensfunktion
- Forskriften og grafen for en potensfunktion
- Vækstegenskaber af en potensfunktion
Potensfunktioner
En potensfunktion er kendetegnet ved, at forskriften indeholder en potens, hvor variablen $x$ er grundtallet ($x^a$):
Potensfunktion
En potensfunktion er en funktion, der har en forskrift af typen
$$ f(x) = bx^a, \ \ \ x>0 $$
hvor konstanten $b$ er større end $0$.
Grafen for en potensfunktion er konstant voksende, hvis konstanten $a$ er større end $0$, eller aftagende, hvis $a$ er mindre end $0$. Konstanten $b$ angiver værdien af potensfunktionen, når $x$ er $1$ ($f(1) = b$). Figuren viser eksempler på graferne for potensfunktioner, som alle har en værdi af $b$ på $3$, men forskellige værdier af $a$. Bemærk, at alle går gennem punktet $(1,3)$, og at funktioner med positive værdier af $a$ er voksende, og at funktionen med en negativ værdi af $a$ er aftagende.
ØVELSE: FORSKRIFT OG GRAF TIL EN POTENSFUNKTION
Vækstegenskaber
Der gælder følgende sammenhæng mellem en relativ vækst i den uafhængige og afhængige variabel:
Relativ vækst for potensfunktioner
For en potensfunktion med forskriften $f(x)=b \cdot x^a$ gælder følgende sammenhæng mellem den relative vækst i en den uafhængige og den afhængige variabel:
$$ f(k \cdot x) = k^a \cdot f(x) $$
Hvis x-værdien har en relativ vækst på $r$ vil $y$-værdien have en relativ vækst på $(1+r)^a-1$.
For eksempel vil værdien af funktionen $f(x)=2x^2$ blive $4$ gange større, når $x$ fordobles:
$$ f(2 \cdot x) = 2^2 \cdot f(x) = 4 \cdot f(x) $$
Dette er uafhængigt af hvad $x$ og $f(x)$ er før, der sker en forøgelse. Man siger, at en bestemt relativ vækst i $x$-værdien giver en bestemt relativ vækst i $y$-værdien.
Et almindeligt eksempel på en potensfunktion er rumfanget af en terning $V$ som funktion af terningens sidelængder:
$$ V(x) = x^3 $$
Her vil rumfanget af terningen blive $8$ gange større, når sidelængderne fordobles:
$$ V(2 \cdot x) = 2^3 \cdot V(x) = 8 \cdot V(x) $$
Geometrisk kan man se dette af, at en terning kan sammensættes af $8$ terninger med den halve sidelængde (se figur).
ØVELSE: VÆKSTEGENSKABER AF POTENSFUNKTIONER
Opsamling
Dette modul har givet en introduktion til emnet potensfunktioner. Modulet har givet en forståelse for følgende:
- Hvad er en potensfunktion?
- Hvordan er sammenhængengen mellem forskriften og grafen for en potensfunktion?
- Vækstegenskaber af potensfunktioner
TEST: INTRODUKTION TIL POTENSFUNKTIONER
Opgaver
OPGAVE: Introduktion til potensfunktioner