Introduktion til geometri

I dette modul introduceres geometri, herunder geometriens oprindelse. I modulet vil blive beskrevet følgende:

• Geometriens oprindelse
• Den aksiomatiske-deduktive metode

Geometriens og matematikkens oprindelse

Geometri handler om studiet af figurer og betyder “jordopmåling” på oldgræsk. Tidlige civilisationer, inklusiv oldtidens Ægypten og Babylon, brugte matematik til landmåling, f.eks. ved arealbestemmelser. Men det var i det antikke Grækenland, at geometrien for alvor udviklede sig mod den form som vi kender i dag. Et skrift som var afgørende for formalisering af geometrien er Euklids Elementer, der blev skrevet af den græske matematiker og filosof Euklid (ca. 300 f.Kr.). Grundtanken her er i tråd med den græske filosofi, at al viden må baseres på nogle grundlæggende antagelser, der hverken kan bevises eller modbevises. Euklid nedskrev en række definitioner og 10 grundsætninger. De første fem grundsætninger omhandlede specifikt geometri og blev kaldt postulater. De sidste fem grundsætninger omhandlede almindelige begreber og blev kaldt aksiomer.

Euklids 10 grundsætninger

Følgende giver en oversigt over Euklids 10 grundsætninger. Der kan her være mindre omskrivninger af de oprindelige grundsætninger.

Postulater

1. Man kan trække en ret linje fra et hvilket som helst punkt til et hvilket som helst punkt
2. Man kan forlænge en begrænset ret linje
3. Man kan tegne en cirkel med et hvilket som helst centrum og en hvilken som helst radius
4. Alle rette vinkler er lige store
5. I en plan, hvor der er givet en linje og et punkt, der ikke ligger på linjen, kan der trækkes én og kun én ret linje gennem punktet som er parallel med den givne linje [Playfairs aksiom]

Aksiomer

1. Størrelser, der er lige store med samme størrelse, er indbyrdes lige store [transitive lov]
2. Når lige store størrelser lægges til lige store størrelser, er summerne lige store [omskrivning af ligninger]
3. Når lige store størrelser trækkes fra lige store størrelser, er resterne lige store [omskrivning af ligninger]
4. Størrelser, der kan dække hverandre, er indbyrdes lige store [arealbegrebet]
5. Det hele er større end en del deraf [ulighed]

Ud over postulater og aksiomer indførte han 23 definitioner. På baggrund af disse grundantagelser beviste han en række andre sammenhænge (almindelige sætninger). Denne matematiske tilgang som Euklid og andre græske filosoffer indførte, hvor alle matematiske udsagn skal bevises med udgangspunkt i nogle grundantagelser, kaldes den aksiomatiske-deduktive metode (deducere betyder udlede). Dette er grundlaget for alle matematiske discipliner i dag.

ØVELSE: GEOMETRI

Opsamling

Dette modul har givet en introduktion til geometri, herunder en gennemgang af geometriens historie. Ved gennemgang af dette modul har du har fået en forståelse for:

• Geometriens oprindelse
• Den deduktive metode

TEST: INTRODUKTION TIL GEOMETRI

Opgaver

OPGAVE: Klassisk Geometri

Eksterne links

• Euklids elementer