Toppunkt for et andengradspolynomium

Dette modul behandler begrebet toppunkt for et andengradspolynomium, samt hvordan det bestemmes. I modulet vil blive behandlet:

• Bestemmelse af toppunktet for et andengradspolynomium
• Anvendelse af toppunktsbestemmelse ved optimering

Bestemmelse af toppunkt

En parabel for et andengradspolynomium er kendetegnet ved at have et toppunkt (ekstremum). Der findes følgende formler til bestemmelse for x– og y-koordinaten for toppunktet:

Toppunktsformlerne

Lad et andengradspolynomium have forskriften:

$$ f(x) = ax^2+bx+c $$

Diskriminanten d for andengradspolynomiet er defineret som:

$$ d = b^2 – 4ac $$

Koordinaterne for toppunktet kan da bestemmes med følgende formler:

$$ x = \frac{-b }{2a} $$

$$ y = \frac{-d}{4a} $$

Eksempel 1: For polynomiet $f(x)=–7x^2+14x+28$ vil formlerne give følgende værdier for koordinaterne for toppunktet:

$$ d = 14^2 – 4 \cdot (-7) \cdot 28 = 980 $$

$$ x = \frac{-14 }{2 \cdot (-7)} = 1 $$

$$ y = \frac{-980}{4 \cdot (-7)} = 35 $$

Det vil sige, at toppunktet har koordinatsættet (1,35).

ØVELSE: TOPPUNKT FOR ANDENGRADSPOLYNOMIUM

Anvendelse af toppunktsbestemmelser (optimering)

Bestemmelse af den værdi af den uafhængige variabel x svarende til maksimum eller minimum af den afhængige variabel y kaldes for optimering, da man finder den optimale værdi af x, når man vil have den “bedst mulige” værdi af y. Optimering bliver brugt bredt inden for natur- og samfundsvidenskab. For eksempel vil der være mange situationer inden for økonomi, hvor det er oplagt at optimere en økonomisk variabel med henblik på at maksimere en anden økonomisk variabel (f.eks. finde den skatteprocent der giver størst mulige skatteindtægter).

Eksempel 2: En mobilproducent vil gerne finde den pris på sin nye telefon, der giver det størst mulige overskud. Prisen skal være tilpas høj til, at der er en rimelig indtægt ved salget af en telefon og tilpas lav til, at forbrugerne køber deres telefon frem for konkurrenternes. Ved en markedsundersøgelse er producenten kommet frem til følgende sammenhæng mellem overskud y (i kr.) og pris per telefon x (i kr. per styk):

$$ y = -5x^2+60.000x-55.000.000 $$

Producenten ønsker nu at bruge sammenhængen til at bestemme den optimale pris (pris x, hvor overskuddet y er størst muligt). Dette kan gøres vha. af toppunktsformlerne:

$$ x = \frac{-60.000 }{2 \cdot (-5)} = 6.000 $$

Det vil sige, det størst mulige overskud opnås, når prisen per telefon sættes til 6.000 kr./stk.

Det størst mulige overskud kan ligeledes bestemmes vha. af toppunktsformlerne:

$$ y = \frac{-(60.000^2-4 \cdot (-5) \cdot 55.000.000)}{4 \cdot (-5)} = 235.000.000 $$

Det vil sige, at der opnås et overskud på 235 millioner kroner, når telefonerne sælges til den optimale pris på 6.000 kr./stk.

ØVELSE: OPTIMERING VHA. ANDENGRADSPOLYNOMIER

Opsamling

I dette modul er blevet beskrevet, hvordan toppunktet for et andengradspolynomium kan bestemmes. Ved gennemgang af modulet har du opnået en forståelse for følgende:

• Hvordan x– og y-koordinaten kan bestemmes vha. af relevante formler
• Anvendelse af toppunktsformlerne ved optimering

TEST: TOPPUNKT FOR ET ANDENGRADSPOLYNOMIUM

Opgaver

OPGAVE: Toppunkt for et andengradspolynomium

Eksterne links

• Bestemmelse af toppunkt
• Optimering vha. andengradspolynomier