- 998 (Registered)
-
(0 Reviews)
Funktionsanalyse
Med udgangspunkt i andengradspolynomier vil der i dette modul blive beskrevet de centrale trin i funktionsanalyse. Først vil blive introduceret det mest grundlæggende inden for emnet andengradspolynomier:
- Definition af andengradspolynomier
- Forskriften og grafen for et andengradspolynomium
Dernæst vil blive gennemgået de forskellige trin ved funktionsanalyse:
- Definitions- og værdimængde (tilladte værdier af x og y)
- Nulpunkter (skæring med x-aksen) og fortegnsanalyse
- Ekstrema (toppunkter) og monotoniforhold
- Krumningsforhold
Andengradspolynomier
Definition: Andengradspolynomier
Et andengradspolynomium (andengradsfunktion) har forskriften
$$ f(x) = ax^2 + bx + c $$
eller y = ax2 + bx + c (a ≠ 0).
Grafen for et andengradspolynomium kaldes en parabel og er karakteriseret ved at have to ben (grene), der krummer op (hvis a>0) eller ned (hvis a<0). En parabel skærer altid y-aksen i c. For eksempel vil et andengradspolynomium med forskriften y = 0,5x2 + 2x + 4 have en parabel, der skærer y-aksen i 4, og grenene vil krumme opad.
ØVELSE: FORSKRIFT OG GRAF FOR ANDENGRADSPOLYNOMIER
Funktionsanalyse
En sammenhæng mellem to variabler x og y kaldes en funktion, hvis der for én værdi af den ene variabel x kun findes én værdi af den anden variabel y. En parabel er dermed grafen for en funktion, hvor en cirkel ikke kan være grafen for en funktion, da der findes to værdier af y for én værdi af x (en lodret linje kan skære en cirkel to steder).
Definitions- og værdimængde
Ved funktioner kaldes den ene variable den uafhængige variabel (typisk x), og den anden variabel kaldes den afhængige variabel (typisk y). For en funktion f omtales de tilladte værdier af den uafhængige variabel som definitionsmængden (Dm(f)), og de mulige værdier af den afhængige variabel kaldes værdimængden (Vm(f)).
Nulpunkter og fortegnsvariation
Skæringspunktet mellem x-aksen og grafen for en funktion kaldes for nulpunkter (eller rødder). For en funktion med en sammenhængende graf kan fortegnet af funktionsværdien kun ændre sig ved nulpunkterne (f.eks. andengradspolynomier).
Ekstrema og monotoniforhold
Et maksimums- eller minimumspunkt for en funktion er punkter, hvor nabopunkterne på graferne har henholdsvis mindre eller større funktionsværdier. Fællesbetegnelsen for maksimum og minimum er ekstremum (ekstrema i flertal). Et maksimum kaldes globalt, hvis alle andre funktionsværdier er mindre. Hvis dette ikke er tilfældet, kaldes det et lokalt maksimum. Tilsvarende definitioner gælder for et lokalt og globalt minimum.
Monotoniforhold for en funktion er en beskrivelse af om funktionen er voksende, konstant eller aftagende for forskellige områder af definitionsmængden. For en glat graf (som parabler) vil en funktion kun kunne gå fra voksende til aftagende ved et ekstremum.
Krumningsforhold
En parabel, hvor benene peger op siges at være konveks eller at have en positiv krumning. Omvendt siges parablen at være konkav eller at have en negativ krumning, hvis grenene peger nedad.
ØVELSE: FUNKTIONSANALYSE AF POLYNOMIER
Opsamling
Dette modul har givet en introduktion til emnet andengradspolynomier. Modulet har givet en forståelse for følgende:
- Hvad er et andengradspolynomium?
- Sammenhæng mellem forskrift og graf for et andengradspolynomium
- Funktionsanalyse
Opgaver
OPGAVE: Opsamling på Potensfunktioner