- 998 (Registered)
-
(0 Reviews)
Bestemmelse af lineær funktion ud fra to punkter
I dette modul vil blive præsenteret formler, der kan anvendes til at bestemme forskriften for den lineære funktion, hvis graf går gennem to bestemte punkter. I modulet vil dels blive introduceret de nævnte formler, samt metoder til at bevise formlerne:
- Formler til bestemmelse af forskriften for en lineær funktion
- Bevis for formler til bestemmelse af forskrift
Der vil også blive introduceret matematiske begreber, der er relevante i forhold til beviset af to-punktsformlerne:
- To ligninger med to ubekendte
- Løsning af ligninger vha. de lige store koefficienters metode
Formler til bestemmelse af forskriften for en lineær funktion
For en lineære funktion, hvor grafen går gennem to punkter, findes der følgende formler til at bestemme konstanterne a og b i forskriften:
Bestemmelse af forskrift for en lineær funktion
Grafen for en lineær funktion går gennem punkterne (x1,y1) og (x2,y2), hvor x1≠x2 (punkterne ligger ikke på en lodret linje). Konstanterne a og b i forskriften y=ax+b kan bestemmes med følgende formler:
$$ a = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} $$
$$ b = y_1- ax_1 $$
For eksempel kan man finde forskriften for den lineære funktion, der går gennem punkter (2,7) og (4,3):
$$ a = \frac{3-7}{4-2} = -2 $$
$$ b = 7 -(-2) \cdot 2 = 11 $$
Dermed er forskriften for den lineære funktion givet som:
$$ y=-2x+11 $$
ØVELSE: BESTEMMELSE AF FORSKRIFTEN FOR EN LINEÆR FUNKTION
Bevis for formlerne
De angivne to-punktsformler er indtil videre en påstand. Uden et matematisk bevis kan man ikke vide om denne påstand er sand. I det følgende vil det blive bevist, at formler faktisk er sande og kan bruges for alle tilfælde, hvor man kender to punkter (bortset fra punkter der ligger på en lodret linje).
Løsning af to ligninger med to ubekendte
Løsning af to ligninger med to ubekendte handler om at finde værdier af to ubekendte således, at lighedstegnet i to forskellige ligninger passer. Som eksempel kan man se på de ubekendte x og y i følgende to ligninger:
$$ y = x+1 $$
$$ y = 2x $$
Her kan man ved at prøve sig frem se at x = 1 og y = 2, da disse værdier af x og y får begge ligninger til at passe:
$$ 2 = 1 + 1 $$
$$ 2 = 2 \cdot 1 $$
For mere komplekse ligningssystemer kan man ikke bare gætte løsningen, men har brug for en systematisk tilgang. Se f.eks. følgende ligninger med p og q som de ubekendte:
$$ 10 = p \cdot 5 + 2q $$
$$ 5 = p \cdot 3 + 2q $$
Bemærk, at det samme tal (koefficient) står foran q. Dette gør det muligt at omdanne de to ligninger til én ligning med én ubekendt ved at trække venstre side fra venstre side og højre side fra højre side:
$$ 10 – 5 = p \cdot 5 + 2q – (p \cdot 3 + 2q) $$
$$ 5 = p \cdot 5 + 2q – p \cdot 3 – 2q $$
$$ 5 = p \cdot 5 – p \cdot 3 $$
$$ 5 = p \cdot 2 $$
$$ p = 2,5 $$
q kan efterfølgende bestemmes ud fra én af de to ligninger ved at erstatte p med 2,5:
$$ 10 = 2,5 \cdot 5 + 2q $$
$$ 10 = 12,5 + 2q $$
$$ -2,5 = 2q $$
$$ q = -1,25 $$
Denne metode til at løse to ligninger med to ubekendte kaldes de lige store koefficienters metode, da udgangspunktet er, at den samme koefficient står foran én af de ubekendte. Denne metode bliver brugt i det kommende bevis for formlerne til bestemmelse af forskriften for en lineær funktion.
ØVELSE: LØSNING AF TO LIGNINGER MED TO UBEKENDTE
Bevis for formlerne
Udgangspunktet i beviset er, at y = ax + b, og grafen for den lineære funktion går gennem (x1,y1) og (x2,y2). Det vil sige:
$$ y_1 = ax_1 + b $$
$$ y_2 = ax_2 + b $$
Beviset går ud på at isolere a og b i de to ligninger (løse to ligninger med to ubekendte). Det bemærkes, at der står det samme tal foran b (usynligt 1-tal). Ligningerne kan dermed løses vha. af de lige store koefficienters metode:
$$ y_2 – y_1 = ax_2 + b – (ax_1 + b) $$
$$ y_2 – y_1 = ax_2 + b – ax_1 – b $$
$$ y_2 – y_1 = ax_2 – ax_1 $$
$$ y_2 – y_1 = a \cdot (x_2 – x_1) $$
$$ a = \frac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1} $$
Dermed er formlen for a bevist. Nu mangler kun formlen for b at blive bevist:
$$ y_1 = ax_1 + b $$
$$ b = y_1 – ax_1 $$
Dermed er det ønskede bevist.
ØVELSE: BEVISET FOR FORMLERNE TIL BESTEMMELSE AF a OG b
Opsamling
Dette modul har givet en introduktion til bestemmelse af forskriften for en lineær funktion. Modulet har givet en forståelse for følgende:
- Formler til bestemmelse af forskriften for en lineær funktion
- Bevisførelse
- Løsning af to ligninger med to ubekendte
TEST: BESTEMMELSE AF FORSKRIFT FOR EN LINEÆR FUNKTION
Opgaver
OPGAVE: Bestemmelse af forskrift for lineær funktion ud fra to punkter