Fordoblings- og halveringskonstant

En særlig egenskab ved eksponentielle funktioner er, at der for en given ændring i den uafhængige variabel ($x$) vil ske en fordobling eller halvering i funktionsværdien ($y$). Afhængigt af om en eksponentiel funktion er voksende eller aftagende siger man, at den har en fordoblings- eller halveringskonstant. I modulet vil dels blive introduceret disse konstanter, formler der kan bestemme dem, samt beviset for formlerne. Overskrifterne for det der bliver gennemgået i modulet er:

• Hvad er fordoblings- og halveringskonstanterne?
• Formler til bestemmelse af fordoblings- og halveringskonstanterne
• Bevis for formler til bestemmelse af fordoblings- og halveringskonstanterne

Fordoblings- og halveringskonstant

For en eksponentiel funktion, kan fordoblings- og halveringskonstanten bestemmes med følgende formler:

Formler til bestemmelse af fordoblings- og halveringskonstant

Fordoblings- og halveringskonstanten for en eksponentiel funktion med forskriften $y=ba^x$ kan bestemmes med følgende formler:

$$ T_2 = \frac{log(2)}{log(a)} = \frac{ln(2)}{ln(a)} $$

$$ T_{1/2} = \frac{log(1/2)}{log(a)} = \frac{ln(1/2)}{ln(a)} $$

Der gælder, at $T_2$ = – $T_{1/2}$ (en voksende eksponentiel funktion vil have en negativ halveringskonstant).

For eksempel kan man finde fordoblingskonstanten til en voksende eksponentiel funktion med forskriften $y = 100·1,07^x$:

$$ T_2 = \frac{ln(2)}{ln(1,07)} = 10,245 $$

ØVELSE: BESTEMMELSE AF FORDOBLINGSKONSTANTEN (T₂)

ØVELSE: BESTEMMELSE AF HALVERINGSKONSTANTEN (T_½)

Bevis for formler for fordoblings- og halveringskonstanten

Udledningen af formlen for fordoblingskonstanten handler om at finde en værdi $T_2$ således, at når $x$ vokser med $T_2$ så vil $y$ fordobles. Dette kan formuleres som følgende to ligninger:

$$ y = b \cdot a^{x} $$

$$ 2y = b \cdot a^{x+T_2} $$

Beviset går ud på at nå frem til en formel for $T_2$ udtrykt ved $a$ (løse de eksponentielle ligninger med henhold til $T_2$). Dette gøres med substitutionsmetoden, hvor $y$ i den anden ligning erstattes med højre siden i den første ligning:

$$ 2(b \cdot a^{x}) = b \cdot a^{x+T_2} $$

$$ 2b \cdot a^{x} = b \cdot a^{x} \cdot a^{T_2} $$

$$ 2 = a^{T_2} $$

$$ ln(2) = ln(a^{T_2}) $$

$$ ln(2) = T_2 \cdot ln(a) $$

$$ T_2 = \frac{ln(2)}{ln(a)} $$

Lignende fremgangsmåde vil gælde for 10-talslogaritmen log.

ØVELSE: BEVISET FOR FORMLERNE TIL BESTEMMELSE AF T₂ og T_½

Opsamling

Dette modul har givet en introduktion til bestemmelse af fordoblings- og halveringskonstanten for eksponentielle funktioner. Modulet har givet en forståelse for følgende:

• Fordoblings- og halveringskonstanter
• Bestemmelse af fordoblings- og halveringskonstanter
• Beviset for formlerne for fordoblings- og halveringskonstanter

TEST: FORDOBLINGS- OG HALVERINGSKONSTANT

Opgaver

OPGAVE: Fordoblings- og halveringskonstant

OPGAVE: Opsamling på Eksponentielle funktioner

Eksterne links

• Fordoblings- og halveringskonstant
• Bevis for formler