- 998 (Registered)
-
(0 Reviews)
Skalarprodukt af vektorer
I dette modul vil blive beskrevet begrebet skalarproduktet, der kan fortolkes som produktet af to vektorer. I modsætning til summen af vektorer, der giver en ny vektor, vil skalarproduktet af to vektorer ikke give en vektor, men en talværdi. I modulet vil blive gennemgået definitionen af skalarproduktet, samt nogle af anvendelserne. Overskrifterne er:
- Hvad er skalarproduktet af vektorer?
- Vinkel mellem vektorer
- Projektion af en vektor på en vektor
Hvad er skalarproduktet af vektorer?
Skalarproduktet er en operation, der kan foretages mellem to vektor, hvor resultatet er en talværdi (skalar betyder tal):
Skalarprodukt
Ved skalarproduktet (prikproduktet) af to vektorer a og b forstås det tal, som er summen af produktet af x-koordinaterne og produktet af y-koordinaterne:
$$ \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix} = a_1b_1 + a_2b_2 $$
For eksempel vil skalarproduktet af vektorerne (2,3)t og (4,7)t være givet som:
$$ \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 7 \end{pmatrix} = 2 \cdot 4 + 3 \cdot 7 = 29 $$
Der gælder følgende regneregler for skalarproduktet af vektorer:
Regneregler for skalarprodukt
Lad a, b og c være vektorer og t et tal. Så gælder følgende for skalarproduktet:
$$ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{a} $$
$$ \overrightarrow{a} \cdot (\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}) = \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} + \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c} $$
$$ (t\overrightarrow{a}) \cdot \overrightarrow{b} = \overrightarrow{a} \cdot (t\overrightarrow{b}) = t (\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}) $$
$$ \overrightarrow{a}^2 = \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{a} = |\overrightarrow{a}|^2 $$
Skalarproduktet af to vektorer er afhængig af vektorernes orientering i forhold til hinanden. Derimod er det ikke afhængigt af, hvilket koordinatsystem man vælger at angive vektorkoordinaterne for:
Skalarproduktet er uafhængigt af koordinatsystem
Skalarproduktet af to vektorer er uafhængigt af koordinatsystemets orientering.
Vinkel mellem vektorer
Bestemmelse af vinkel mellem vektorer
Skalarproduktet kan benyttes til at bestemme vinklen mellem to vektorer, da vinklen, sammen med længden af vektorerne, er det, der bestemmer størrelsen af skalarproduktet:
Sammenhæng mellem vinkel og skalarprodukt
Lad a og b være to egentlige vektorer, og lad v være vinklen mellem vektorerne. Da er skalarproduktet mellem a og b givet som:
$$ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = |\overrightarrow{a}| \cdot |\overrightarrow{b}| \cdot cos(v) $$
Ved omskrivning fås en formel for cosinus:
$$ cos(v) = \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}| \cdot |\overrightarrow{b}|} $$
Som eksempel kan man bestemme vinklen mellem vektorerne (1,2)t og (2,1)t. Først bestemmes skalarproduktet og længderne af vektorerne:
$$ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 1 = 4 $$
$$ |\overrightarrow{a}| = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5} $$
$$ |\overrightarrow{b}| = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5} $$
Nu kan vinklen v bestemmes ved først at bestemme cosinus:
$$ cos(v) = \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}| \cdot |\overrightarrow{b}|} = \frac{4}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = 0,8 $$
$$ v = cos^{-1}(0,8) = 36,87^\circ $$
ØVELSE: BESTEMMELSE AF VINKLER VHA. SKALARPRODUKT
Ortogonale vektorer
Vektorer, hvor vinklen mellem dem er ret, siges at være ortogonale:
Ortogonale vektorer
Vektor a og b er ortogonale, hvis der er en vinkel på 90º mellem dem.
Fra den kendte sammenhæng mellem skalarproduktet og cosinus til vinklen mellem vektorer kan man se, at skalarproduktet mellem to ortogonale vektorer altid 0 (fordi cos(90º)=0). Ud fra fortegnet på skalarproduktet kan man desuden afgøre om vinklen er stump eller spids:
Betydning af fortegn for skalarprodukt
Lad a og b være to egentlige vektorer, og lad v være vinklen mellem vektorerne. Da vil der gælde følgende sammenhæng mellem fortegnet af skalarproduktet og vinklen:
$$ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} > 0 \ \ \ \Leftrightarrow \ \ \ v<90^\circ \ (spids \ vinkel) $$
$$ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 0 \ \ \ \Leftrightarrow \ \ \ v=90^\circ \ (ret \ vinkel) $$
$$ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} < 0 \ \ \ \Leftrightarrow \ \ \ v>90^\circ \ (stump \ vinkel) $$
For eksempel kan man ved beregning af et skalarprodukt bekræfte, at vektorerne (1,2)t og (-4,2)t har en vinkel på 90° mellem sig og dermed er ortogonale:
$$ \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 2 \end{pmatrix} = 1 \cdot (-4) + 2 \cdot 2 = 0 $$
Et særligt par af ortogonale vektorer er en vektor og dens tværvektor:
Tværvektor
For en vektor a er tværvektoren â den vektor, der dannes, når vektor a drejes 90º mod uret (positiv omløbsretning). Hvis vektor a har koordinaterne (a1,a2)t, har tværvektoren â koordinaterne (-a2,a1)t.
Man kan se, at der generelt vil gælde, at skalarproduktet mellem en vektor og dens tværvektor vil være 0:
$$ \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -a_2 \\ a_1 \end{pmatrix} = a_1 \cdot (-a_2) + a_2 \cdot a_1 = -a_1a_2 + a_1a_2 = 0 $$
Projektion af en vektor på en vektor
Projektionen af vektoren (10,7)t på x-aksen er vektoren (10,0)t og projektionen på y-aksen er tilsvarende (0,7)t. Projektionerne af vektoren opnås ved at aflæse koordinaterne på x-aksen og på y-aksen, når man trækker en vinkelret linje ind på akserne for vektorens endepunkt, når vektoren har begyndelsespunkt i (0,0). Tilsvarende er definition for projektion af en vektor på andre linjer. For to vektorer er projektionen af den ene vektorer på den anden vektor defineret som projektionen af den ene vektor på den linje, der er forlængelsen af vektoren (fælles begyndelsespunkt). Én af skalarproduktets anvendelser er bestemmelse af projektionen af en vektor på en vektor:
Projektion af en vektor på en vektor
Lad a og b være to egentlige vektor. Da vil projektionen ab, af a på b, være givet ud fra formlen:
$$ \overrightarrow{a_b} = \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|^2}\overrightarrow{b} $$
Projektionen på vektor b vil være afhængig af b‘s retning, men uafhængig af b‘s længde (det er ligegyldigt om b har en længde på 1 eller 10). Projektionen vil både være afhængig af vektor a‘s retning og længde.
ØVELSE: PROJEKTION AF EN VEKTOR PÅ EN VEKTOR
Opsamling
I dette moduler er blevet behandlet skalarproduktet af vektorer, samt anvendelse af skalarproduktet ved bestemmelse af vinkler og projektionen af en vektor på en vektor. Du har nu opnået en forståelse af følgende:
- Hvordan du bestemmer skalarproduktet mellem to vektorer (definition af skalarprodukt)
- Bestemmelse af vinklen mellem to vektorer vha. skalarproduktet (a·b= |a||b|cos(v))
- Bestemmelse af projektionen af en vektor på en vektor vha. skalarproduktet
TEST: SKALARPRODUKT AF VEKTORER
Opgaver
OPGAVE: Skalarprodukt af Vektorer