- 998 (Registered)
-
(0 Reviews)
Introduktion til trigonometri
I dette modul introduceres trigonometri (oldgræsk: trekantsmåling) og de trigonometriske funktioner cosinus, sinus og tangens. Overskrifterne er:
- Trigonometriske funktioner og enhedscirklen
- Inverse trigonometriske funktioner og vinkler
Trigonometriske funktioner og enhedscirklen
De trigonometriske funktioner cosinus, sinus og tangens er matematiske funktioner til en vinkel v, og er defineret ud fra enhedscirklen. Enhedscirklen er en cirkel med radius 1, der er placeret således, at dens centrum er i koordinatsystemets begyndelsespunkt (0,0). For en given vinkel v defineres retningspunktet R, som skæringen mellem periferien af enhedscirklen, og en linje der der udgår fra (0,0) med vinklen v i forhold til x-aksen. Det er placeringen af retningspunktet R, der afgør værdien af de trigonometriske funktioner til en vinkel v:
Definition af cosinus, sinus og tangens
Lad R angive retningspunktet for en vinkel v. Da angiver funktionerne cosinus til v (cos(v)) og sinus til v (sin(v)) henholdsvis x– og y-koordinaten for retningspunktet R:
$$ R = (cos(v),sin(v)) $$
Den trigonometrisk funktion tangens til v (tan(v)) angiver forholdet mellem sinus og cosinus til v:
$$ tan(v) = \frac{sin(v)}{cos(v)} $$
Retningspunktet R og tilsvarende værdierne af cos(v), sin(v) og tan(v) er afhængige af vinkel v (uafhængige variabel). I praksis bliver de trigonometriske funktioner altid bestemt vha. af et computerprogram (cos, sin og tan er standardfunktioner på alle avancerede lommeregnere og CAS-programmer). Før man bestemmer funktionen til en vinkel, er det vigtigt at sikre, at programmet bruger den rigtige enhed for vinkler. Den almindelige enhed ved angivelse af vinkler er grader, men der findes også andre enheder (f.eks. radianer).
Inverse trigonometriske funktioner og vinkler
Ved trekanter og i andre sammenhænge findes der metoder til at bestemme værdien af de trigonometriske funktioner. Når man kender værdien af en trigonometrisk funktion til en vinkel v (f.eks. cos(v)), er det muligt vha. de inverse (omvendte) trigonometriske funktioner at bestemme vinklen:
Definition af inverse trigonometriske funktioner
De inverse funktioner til cosinus, sinus og tangens angives henholdsvis cos-1, sin-1 og tan-1. Disse er defineret således at:
$$ cos^{-1}(cos(v)) = v $$
$$ sin^{-1}(sin(v)) = v $$
$$ tan^{-1}(tan(v)) = v $$
For eksempel hvis man ved, at cosinus til en vinkel v er 0,5, kan man bestemme vinkel v ved at tage den inverse funktion af cosinus til 0,5:
$$ v = cos^{-1}(0,5) = 60^\circ $$
Værdien af de inverse trigonometriske funktioner bestemmes vha. af en lommeregner eller et CAS-værktøj, som de almindelige trigonometriske funktioner.
ØVELSE: INVERSE TRIGONOMETRISKE FUNKTIONER
Opsamling
Dette modul har givet en introduktion til trigeometri, herunder de trigonometriske funktioner. Ved gennemgang af dette modul har du fået en forståelse for:
- Enhedscirklen
- De trigonometriske funktioner
- Bestemmelse af vinkler vha. af inverse trigonometriske funktioner
TEST: INTRODUKTION TIL TRIGONOMETRI
Opgaver
OPGAVE: Introduktion til trigonometri