Matematisk modellering

Matematisk modellering er anvendelse af matematik til at beskrive en del af virkeligheden. I dette modul vil følgende blive gennemgået:

Hvad er matematisk modellering?
Anvendelse af matematisk modellering inden for økonomi (eksempel på matematisk modellering)

Matematisk modellering

En hver anvendelse af matematik til virkelige problemstillinger vil kræve, at man konstruerer en matematiske fremstilling af en del af virkeligheden. Sådan en fremstilling kaldes en matematisk model. Matematisk modellering kan beskrives som en proces, hvor man forsøger at besvare spørgsmål fra den virkelige verden vha. matematik:

Matematisk modellering [Mogens Niss]

Matematisk modellering er den proces at udsætte et eller andet område uden for matematikken for en matematisk behandling i håb om at få hjælp til at besvare spørgsmål eller løse problemer inden for det pågældende område.

Et simpelt eksempel på et spørgsmål man kan besvare vha. matematisk modellering er “Hvor meget koster det at køre 5 km med en taxa, når prisen pr. km er 20 kr., og startgebyret er 50 kr.?“. Matematisk kan dette beregnes som:

$$ pris \ for \ tur = 5 \cdot 20 \ kr. + 50 \ kr. = 150 \ kr. $$

Konklusionen vil dermed være: “Det koster 150 kr. for turen“.

Ved løsningen af dette simple hverdagsproblem starter man med en ikke-matematisk problemstilling (“Hvor meget koster det at køre 5 km med en taxa, når prisen pr. km er 20 kr., og startgebyret er 50 kr.?”). For at kunne svare på spørgsmålet behandler man problemet matematisk (opstiller et regnestykke). Afslutningsvis konkluderes i almindeligt ikke-matematisk sprog, hvad svaret er (“Det koster 150 kr. for turen”).

ØVELSE: MATEMATISK MODELLERING

Matematisk modellering inden for økonomi

Matematisk modellering er meget anvendt inden for økonomi. For eksempel kan en almindelig betragtning som, at efterspørgslen efter en vare stiger, når prisen falder, beskrives matematisk som, at prisen på en vare er en lineært aftagende funktion af efterspøgslen.

Et eksempel på et spørgsmål inden for økonomi der kan besvares med matematisk modellering er følgende: “Hvor mange liter mælk bliver der solgt pr. kunde, hvis man sætter prisen til 25 kr. for en liter økologisk mælk?“. Lad os antage, at vi har data til rådighed for sammenhængen mellem pris og afsætning, hvor priserne ligger i intervallet mellem 10 kr. og 20 kr. for en liter økologisk mælk:

\begin{array} {|r|r|}\hline Afsætning & 2,3 & 2,2 & 2,0 & 1,9 & 1,8 & 1,6 & 1,5 & 1,2 & 1,1 & 1,0 & 0,9 \\ \hline Pris \ (kr.) & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 & 17 & 18 & 19 & 20 \\ \hline \end{array}

Tabel 1: Sammenhængen mellem prisen på en liter økologisk mælk (i kr.) og afsætningen af mælk pr. kunde (gennemsnitlig antal liter mælk en handlende kunde køber).

En matematisk beskrivelse af sammenhængen mellem pris og afsætning der er god at arbejde med, når spørgsmålet skal besvares, er en lineær funktion. Forskriften for den lineære funktion, der bedst beskriver sammenhængen, kan bestemmes vha. lineær regression:

$$ y = -6,72x + 25,60 $$

Matematisk modellering inden for økonomi — **Figur 1:** Sammenhængen mellem prisen på en liter økologisk mælk og afsætningen (antal liter mælk der afsættes pr. handlende kunde). Der er tilføjet en regressionslinje med forskrift.

Spørgsmålet kan nu besvares matematisk ved at løse følgende ligning:

$$ 25 = -6,72x + 25,60 $$

$$ 6,72x = 25,60 – 25 $$

$$ 6,72x = 0,60 $$

$$ x = \frac{0,60}{6,72} $$

$$ x = 0,089 $$

Konklusionen kan i almindeligt sprog formuleres som: “Der bliver solgt 0,089 liter mælk pr. handlende kunde, når prisen pr. liter mælk er 25 kr.” Eller med andre ord, at en butik bør sætte prisen under 25 kr. pr. liter mælk, da den ellers må forvente at sælge meget lidt mælk.

ØVELSE: MODELLERING INDEN FOR ØKONOMI