Opgaver i Sandsynlighedsregning og Kombinatorik

Fag: Matematik C

Opgave 1: Symmetrisk sandsynlighed

I et symmetrisk sandsynlighedsfelt har alle de enkelte udfald i et eksperiment samme sandsynlighed for at indtræffe (f.eks. ved kast med en fair terning). Sandsynligheden for en hændelse $A$ beregnes som: $$P(A) = \frac{\text{antal gunstige udfald}}{\text{antal mulige udfald}}$$

En kasse indeholder 50 elektroniske komponenter til et HTX-projekt. Det oplyses, at 40 af komponenterne fungerer fejlfrit, mens 10 er defekte.

  • Opgave a: Du trækker tilfældigt én komponent fra kassen. Hvad er sandsynligheden for, at den er defekt?
  • Opgave b: Hvad er sandsynligheden for hændelsen “ikke defekt”? (Dette kaldes den komplementære hændelse).
  • Opgave c: Hvis du lægger yderligere 5 defekte komponenter ned i kassen (så der nu er 55 i alt), hvad er så den nye sandsynlighed for at trække en defekt komponent?

Opgave 2: Kombinatorik

Kombinatorik handler om at tælle antallet af måder, man kan sammensætte eller vælge ting på.

  • Opgave a (Multiplikationsprincippet): En adgangskode til et teknisk anlæg består af 4 cifre (0-9). Hvor mange forskellige adgangskoder kan der laves, hvis cifrene må bruges flere gange? Hvor mange koder er der, hvis hvert ciffer kun må bruges én gang?
  • Opgave b (Fakultet): På en forsøgsopstilling skal der placeres 6 forskellige sensorer på en række. På hvor mange forskellige måder kan man arrangere rækkefølgen af de 6 sensorer? (Brug $n! = n \cdot (n-1) \cdot \dots \cdot 1$).
  • Opgave c (Kombinationer): Fra en gruppe på 10 elever i en klasse skal der vælges 3 elever, som skal repræsentere klassen til en matematikkonkurrence. Hvor mange forskellige hold af 3 elever kan man danne? (Brug formlen for kombinationer: $K(n, r) = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$).

Opgave 3: Statistisk, kombinatorisk og subjektiv sandsynlighed

Sandsynlighed er ikke kun ét begreb, men kan tolkes på flere måder afhængigt af, hvilken information vi har til rådighed.

  • Opgave a (Statistisk sandsynlighed): En produktionsrobot på en HTX-workshop har kørt i 500 timer. I løbet af denne tid er den brudt sammen 15 gange. Benyt den statistiske definition af sandsynlighed (relativ frekvens) til at estimere sandsynligheden for, at robotten bryder sammen i løbet af en tilfældig driftstime. Hvorfor kaldes dette for en “erfaringsbaseret” sandsynlighed?

  • Opgave b (Kombinatorisk sandsynlighed): Robotten skal bruge 2 specielle gribearme. Du har en kasse med 10 gribearme, hvoraf 3 er præcisionsarme og 7 er standardarme. Du trækker tilfældigt 2 arme op af kassen. Beregn sandsynligheden for, at du trækker præcis 2 præcisionsarme. Forklar, hvorfor vi her taler om en objektiv sandsynlighed, der kan beregnes uden at have testet robotten først.

  • Opgave c (Subjektiv sandsynlighed): Du skal nu vurdere sandsynligheden for, at jeres projektgruppe vinder “Årets Teknikpris”. Der findes ingen tidligere data for netop jeres gruppe, og man kan ikke beregne det med kombinatorik. En ekspert i juryen siger: “Jeg vurderer jeres vinderchancer til at være 20%”. Giv en definition af subjektiv sandsynlighed baseret på eksemplet. Hvorfor er det nødvendigt at bruge subjektive vurderinger i innovative tekniske projekter, hvor man skaber noget helt nyt?

  • Opgave d (Introduktion til Bayesiansk læring): Bayesiansk statistik kombinerer subjektiv tro med nye data. Forestil dig, at du har en seks-sidet terning, men du mistænker, at den er “skæv”. Du starter med en neutral antagelse (prior), men efterhånden som du slår med terningen, opdaterer du din tro på, hvor sandsynligt det er at slå en sekser. Vi bruger en simpel Bayesiansk formel for sandsynligheden for en “sekser”: $$P(\text{“sekser”}) = \frac{1 + k}{6 + n}$$ Hvor $k$ er antallet af seksere, du har slået, og $n$ er det samlede antal slag.

  1. Hvad er sandsynligheden for en sekser ifølge formlen, før du overhovedet er begyndt at slå ($n=0, k=0$)?
  2. Du slår nu 10 gange med terningen og får en sekser hver gang ($n=10, k=5$). Beregn den nye opdaterede sandsynlighed for at slå en sekser.
  3. Forklar med egne ord, hvordan formlen sørger for, at din “tro” på en sekser ændrer sig, når du får nye data (observationer). Hvad sker der med sandsynligheden, hvis du bliver ved med at slå uden at få flere seksere?