Introduktion til lineære funktioner

En af de mest udbredte anvendelser af matematik er beskrivelse af sammenhængen mellem variable talstørrelser. For eksempel for et kvadrat beskriver følgende matematiske formel sammenhængen mellem arealet A og sidelængden s:

$$ A = s^2 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ [s^2 = s \cdot s] $$

Hvis sidelængden er 2, bliver arealet ifølge formlen 4 ($ A = 2^2 = 4 $), mens hvis sidelængden er 10 bliver arealet 100 ($ A = 10^2 = 100 $). Simple variabelsammenhænge som denne kaldes for en matematisk funktion. Her siger man, at arealet af kvadratet er en funktion af sidelængden. Formlen $ A = s^2 $ kaldes en forskrift for funktionen. En anden måde at repræsentere funktionen på er med en graf, hvor sammenhængen mellem to variabler er afbildet i et koordinatsystem. En funktion, hvor grafen er en ret linje, kaldes en lineær funktion. For eksempel er funktionen med forskriften $ y = 0,5x + 2 $ en lineær funktion (se Figur 1).

I dette modul vil blive introduceret funktionsbegrebet, med særligt fokus på lineære funktioner, der er den mest anvendte variabelsammenhæng. Der vil også blive beskrevet, hvilke krav der er til en variabelsammenhæng, før den kan kaldes en funktion. Overskrifterne i dette modul er:

Lineære funktioner
Funktionsbegrebet

Lineære funktioner

Hvad er en lineær funktion?

En variabelsammenhæng, hvor grafen er en ret linje kaldes en lineær funktion. For eksempel for en person der går med samme hastighed hele tiden vil sammenhængen mellem, hvor langt han er gået, og tiden han har gået, være en lineær funktion. Forskriften for en lineær funktion har altid følgende karakteristiske form:

Lineær funktion

En lineær funktion er en funktion, der har en regneforskrift af typen:

$$ y = ax+b $$

x og y er variable talstørrelser, og a og b er konstante talstørrelser (faste værdier).

Grafen for en lineær funktion er en ret linje med hældningen $a$ og skæring med $y$-aksen $b$. For eksempel vil den lineære funktion med forskriften $y = 0,5x + 2$ have en ret linje som graf, der skærer $y$-aksen i 2, og den vil have en hældning på 0,5 (se Figur 1a).

Grafer for lineære funktioner — **Figur 1:** Graferne for to lineære funktioner.

Lineære funktioner kan anvendes til at beskrive sammenhænge, hvor en ændring i én af variablerne altid er den samme ved en bestemt ændring i den anden variabel. For eksempel vil sammenhængen mellem tid ($x$) og længde gået ($y$) for en person, der går med 6 km per time være en lineær funktion (se Figur 1b). Dette vil kunne beskrives med forskriften:

$$ y = 6x $$

Her er y, hvor langt han har gået i km, og x er i hvor mange timer han har gået. Tallet 6 beskriver, at han går 6 km per time. Konstantledet b er i dette tilfælde 0 (efter 0 timer har han gået 0 km).

Notation

I stedet for at skrive y i forskriften for en funktion benytter man ofte notationen $f(x)$. Dette skal læses som “funktion $f$ af variablen $x$”. For eksempel kan funktionen $y = 6x$ skrives som:

$$ f(x) = 6x $$

Hvis man vil bestemme funktionsværdien for et tal, erstattes $x$ med tallet i forskriften. For eksempel, hvis man bestemmer funktionen $f$ af tallet 10 skrives det som:

$$ f(10) = 6 \cdot 10 = 60 $$

Nogle gange bruger man også andre bogstaver end $f$ som navn for en funktion (f.eks. $g(x)=-7x+2$)

Sammenhæng mellem forskrift og graf for en lineær funktion

Der er som sagt en sammenhæng mellem værdien af $a$ og $b$ i forskriften, og hvordan den tilsvarende rette linje ser ud i et koordinatsystem:

Hældningskoefficienten $a$: Fortæller, hvor meget $y$-værdien ændrer sig, hver gang $x$ vokser med 1. I den virkelige verden svarer $a$ ofte til en hastighed eller en vækst (se Figur 1b).

Skæring med $y$-aksen $b$: Fortæller, hvad $y$ er, når $x = 0$. Det betyder at grafen altid går gennem punktet $(0, b)$. Når vi ser på en udvikling over tid er $b$ den værdi, vi har til at begynde med.

For hældningskoefficienten betyder dette, at der gælder følgende, når fortegnet af $a$ ændrer sig:

Hvis $a > 0$ er funktionen voksende (linjen hælder opad).
Hvis $a < 0$ er funktionen aftagende (linjen hælder nedad).
Hvis $a = 0$ er funktionen konstant (linjen er vandret).

For eksempel vil funktionen $f(x) = 0,5x + 2$ vokse, når $x$ stiger (se Figur 1a). Omvendt vil funktionen $g(x) = -7x + 2$ aftage. Funktionen $h(x)=0x+2$ vil have en vandret linje som graf. I alle tre tilfælde vil grafen for funktionerne gå gennem punktet $(0,2)$.

ØVELSE: FORSKRIFT OG GRAF TIL EN LINEÆR FUNKTION

Funktionsbegrebet

En sammenhæng mellem to variabler $x$ og $y$ kaldes en funktion, hvis der for én værdi af den ene variabel $x$ kun findes én værdi af den anden variabel $y$. En ret linje er dermed grafen for en funktion, hvor en cirkel ikke kan være grafen for en funktion, da der findes to værdier af $y$ for én værdi af $x$ (se Figur 2). Med andre ord er en variabelsammenhæng mellem $x$ og $y$ en funktion, hvis en lodret linje højst skærer grafen for sammenhængen ét sted (det antages, at $x$-aksen og $y$-aksen er henholdsvis den vandrette og lodrette akse). Dette krav til en funktion kaldes lodretkriteriet.

Lodretkriteriet — **Figur 2:** Graferne for forskellige variabelsammenhænge. Den lodrette linje skærer hver af graferne svarende til funktionerne $f$ og $g$ ét sted (de opfylder lodretkriteriet). Den lodrette linje skærer cirklen to steder, og den er dermed ikke en funktion (den opfylder ikke lodretkriteriet).

Ved funktioner kaldes den ene variable den uafhængige variabel (typisk $x$), og den anden variabel kaldes den afhængige variabel (typisk $y$). For en funktion $f$ omtales de tilladte værdier af den uafhængige variabel som definitionsmængden ($Dm(f)$), og de mulige værdier af den afhængige variabel kaldes værdimængden ($Vm(f)$). Med mindre andet er angivet har en lineær funktion alle tal som definitionsmængde ($x$ kan være alle værdier fra minus uendelig til uendelig). Ofte vil værdimængden også være alle tal. En undtagelse er en vandret linje, da $y$ i dette særlige tilfælde altid har samme værdi (se Figur 3).