Diskrete data

Størrelser der kun kan have bestemte talværdier kaldes diskrete variabler. Et eksempel på dette er karakterer givet på 7-trinsskalaen (der er kun 7 forskellige karakterer). Størrelser der kan være alle værdier i et interval kaldes kontinuere variabler. Gennemsnitskarakteren for en bestemt elev er et eksempel på dette, da den i princippet kan være alle tal i intervallet mellem -3 og 12. For at gøre kontinuere variabler nemmere at overskue plejer man at gruppere observationerne (inddele dem i intervaller). I dette modul vil der blive beskrevet, hvordan man arbejder statistisk med observationer af diskrete variabler (ugrupperede observationssæt). I modulet vil der blive behandlet følgende:

Ugrupperet observationssæt
Præsentation af ugrupperet observationssæt
Bestemmelse af statistiske deskriptorer for ugrupperede observationssæt

Præsentation af ugrupperede observationssæt

Hyppigheds- og frekvenstabel

Den første analyse af et ugrupperet observationssæt vil typisk være at opstille det i en hyppigheds- og frekvenstabel. Som eksempel kan man tage følgende karakterer:

-3, 0, 0, 0, 2, 2, 2, 4, 4, 4, 4, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 10, 10, 10, 10, 12, 12, 12

Opsummeret vil disse kunne skrives som:

\begin{array} {|r|r|}\hline x & h(x) & f(x) & H(x) & F(x) \\ \hline -3 & 1 & 0,03 & 1 & 0,03 \\ \hline 00 & 3 & 0,10 & 4 & 0,13 \\ \hline 02 & 3 & 0,10 & 7 & 0,23 \\ \hline 4 & 4 & 0,13 & 11 & 0,37 \\ \hline 7 & 12 & 0,40 & 23 & 0,77 \\ \hline 10 & 4 & 0,13 & 27 & 0,90 \\ \hline 12 & 3 & 0,10 & 30 & 1,00 \\ \hline \end{array}

x angiver her karakteren, h(x) angiver hyppigheden (hvor mange der har fået en given karakter), og f(x) angiver frekvensen (andel der har fået en given karakter). H(x) og F(x) angiver henholdsvis den summerede hyppighed og frekvens. Dette er hvor mange eller hvor stor en andel, der har fået en given karakter eller mindre.

ØVELSE: HYPPIGHEDS- OG FREKVENSTABELLER VED DISKRETE DATA

Pinde- og trappediagram

En grafisk præsentation af hyppigheden eller frekvensen kan opnås med et pindediagram, hvor hyppigheden eller frekvensen er højden af en pind ud fra hver af de observerede værdier. Den summerede hyppighed og frekvens angives med et trappediagram, hvor højden af trappen angiver den summerede hyppighed eller frekvens. Figuren viser et pindediagram (med antal) og et trappediagram (med summeret frekvens) for karaktereksemplet.

ØVELSE: PINDEDIAGRAMMER

ØVELSE: TRAPPEDIAGRAMMER

Typetal, middelværdi og spredning

Typetallet for et ugrupperet observationssæt kan aflæses ud fra et pindediagram, som værdien for den højeste pind. Når man kender hyppighederne eller frekvenserne for de observerede værdier kan følgende formler benyttes til at bestemme middelværdien og spredningen:

Middelværdi og spredning

Lad x_i angive værdien af en observation med hyppigheden h_i og frekvensen f_i. Observationssættets størrelse er n. Middelværdien og spredningen af observationssættet vil da være givet med formlerne:

$$ \mu = \frac{\sum{h_i \cdot x_i}}{n} = \sum{f_i \cdot x_i} $$

$$ \sigma = \sqrt{\frac{\sum{h_i \cdot (x_i – \mu)^2}}{n}} = \sqrt{\sum{f_i \cdot (x_i – \mu)^2}} $$

For karaktererne der er opstillet i hyppighedstabellen vil middelværdien blive bestemt til følgende værdi vha. af formlen for middelværdi:

$$ \mu = \frac{1 \cdot (-3)+3 \cdot 0+3 \cdot 2 + 4 \cdot 4+12 \cdot 7+4 \cdot 10+3 \cdot 12}{30} = 6,0 $$

Tilsvarende brug af formlen for spredning giver en spredning på 3,9.

ØVELSE: TYPETAL

ØVELSE: MIDDELVÆRDI

ØVELSE: SPREDNING

Fraktiler og kvartiler

Fraktiler og kvartiler kan bestemmes ud fra et trappediagram ved at aflæse den mindste værdi af observationerne, hvor den summerede frekvens er større end eller lig med en bestemt andel. For eksempel kan medianen bestemmes ud fra et trappediagram ved at aflæse værdien, hvor den summerede frekvens er 50%. Tilsvarende kan 80%-fraktilen bestemmes ved at aflæse værdien, hvor den summerede frekvens er 80%.

ØVELSE: KVARTILSÆT

ØVELSE: FRAKTILER