- 998 (Registered)
-
(0 Reviews)
Kontinuere data
Størrelser der kan have alle talværdier i et interval kaldes kontinuere variabler. Gennemsnitskarakteren for en bestemt elev er et eksempel på dette, da den i princippet kan være alle tal i intervallet mellem -3 og 12. For at gøre kontinuere variabler nemmere at overskue plejer man at gruppere observationerne (inddele dem i intervaller). Et observationssæt der er inddelt i intervaller kaldes et grupperet observationssæt. I modulet vil der blive behandlet følgende:
- Grupperede observationssæt
- Præsentation af grupperede observationssæt
- Bestemmelse af statistiske deskriptorer for grupperede observationssæt
Præsentation af grupperede observationssæt
Hyppigheds- og frekvenstabel
Gruppering af et observationssæt er at opstille observationerne i en hyppigheds- og frekvenstabel, som angiver hyppighederne og frekvenserne i forskellige intervaller. Som eksempel kan man tage følgende gennemsnitskarakterer for 30 elever i en klasse (gennemsnit af karakter i de forskellige fag):
-2.1, 0.1, 0.2, 0.6, 2.2, 2.4, 2.8, 4.1, 4.5, 4.6, 4.7, 7.0, 7.1, 7.2, 7.3, 7.4, 7.5, 7.6, 7.7, 7.8, 7.9, 8.5, 8.9, 10.0, 10.5, 10.6, 10.8, 11.0, 11.5, 11.9
Grupperet vil disse kunne skrives som:
\begin{array} {|r|r|}\hline I & h(I) & f(I) & H(I) & F(I) \\ \hline ]-4;-3] & 0 & 0,00 & 0 & 0,00 \\ \hline ]-3;0] & 1 & 0,03 & 1 & 0,03 \\ \hline ]0;2] & 3 & 0,10 & 4 & 0,13 \\ \hline ]2;4] & 3 & 0,10 & 7 & 0,23 \\ \hline ]4;7] & 5 & 0,17 & 12 & 0,40 \\ \hline ]7;10] & 12 & 0,40 & 24 & 0,80 \\ \hline ]10;12] & 6 & 0,20 & 30 & 1,00 \\ \hline \end{array}
Den første kolonne (I) indeholder de intervaller, som gennemsnitskaraktererne er grupperet i. h(I) angiver intervalhyppigheden (antal der har fået en gennemsnitskarakter i interval I) og f(I) angiver intervalfrekvensen (andel der har fået en gennemsnitskarakter i interval I). H(I) og F(I) angiver henholdsvis den summeret hyppighed og summeret frekvens. Dette er hvor mange og hvor stor en andel, der har fået en given gennemsnitskarakter eller mindre.
ØVELSE: HYPPIGHEDS- OG FREKVENSTABELLER VED KONTINUERE DATA
Histogram og sumkurve
En grafisk præsentation af hyppighederne eller frekvenserne kan opnås med et histogram, hvor der er en søjle for hvert interval. Afhængigt af typen af histogram angives frekvensen (eller hyppigheden) i et interval som højden eller arealet under kurven i det givne interval. Den summerede hyppighed og frekvens angives med en sumkurve, hvor den summerede frekvens (eller hyppighed) kan aflæses for en given værdi. Figuren viser et histogram og en sumkurve for gennemsnitskarakteren for alle afgangselever på et gymnasium.
Typeinterval, middeltal og spredning
Typeinterval
Det hyppigst forekomne interval kaldes typeintervallet. For karaktereksemplet med klassen på 30 elever er typeintervallet ]7;10], som man kan se dækker over 40% af alle observationerne (se tabellen).
Middeltal
Middelværdien (eller middeltallet) for et grupperet observationssæt bestemmes ud fra midtpunkterne for de intervaller som dataene er grupperet efter:
Middeltal
For et grupperet observationssæt angiver xi midtpunktet af interval i, og hi og fi angiver henholdsvis intervalfrekvensen og intervalhyppigheden for interval i. Middeltallet kan da bestemmes ud fra følgende formel:
$$ \mu = \frac{\sum{h_i \cdot x_i}}{n} = \sum{f_i \cdot x_i} $$
For karaktererne af de 30 elever opstillet i hyppighedstabellen vil middeltallet blive bestemt til følgende værdi vha. af formlen:
$$ \mu = \frac{1 \cdot (-1,5)+3 \cdot 1+3 \cdot 3 + 5 \cdot 5,5+12 \cdot 8,5+6 \cdot 11}{30} = 6,87 $$
I beregningerne indgår intervalhyppighederne samt midtpunktet af de forskellige intervaller.
Spredning
Spredningen for et grupperet observationssæt bestemmes ligeledes ud fra midtpunkterne for de intervaller som dataene er grupperet efter:
Spredning
For et grupperet observationssæt angiver xi midtpunktet af interval i, og hi og fi angiver henholdsvis intervalfrekvensen og intervalhyppigheden for interval i. Spredningen kan da bestemmes ud fra følgende formel:
$$ \sigma = \sqrt{\frac{\sum{h_i \cdot (x_i – \mu)^2}}{n}} = \sqrt{\sum{f_i \cdot (x_i – \mu)^2}} $$
For karaktererne af de 30 elever opstillet i hyppighedstabellen vil spredningen blive bestemt til følgende værdi vha. af formlen:
$$ \sigma = \sqrt{\frac{1 \cdot (-1,5-6,87)^2+3 \cdot (1-6,87)^2+…+6 \cdot (11-8,67)^2}{30}} = 3,47 $$
Som ved beregning af middeltallet indgår intervalhyppighederne samt midtpunktet af de forskellige intervaller.
Fraktiler og kvartiler
Fraktiler og kvartiler kan aflæses ud fra en sumkurve som den værdi, som har en bestemt summeret frekvens. For eksempel vil 3. kvartil være den værdi, hvor den summerede frekvens er 75%. For eksemplet med karaktergennemsnittet for afgangseleverne på et gymnasium vil 1. kvartil være 4,4, 2. kvartil vil være 6,0 (medianen), og 3. kvartil vil være 7,8 (se sumkurven).
Opsamling
Dette modul har givet en introduktion til kontinuere variabler og grupperede observationssæt. Ved gennemgang af dette modul har du har fået en forståelse for:
- Kontinuere variabler
- Behandling af grupperede observationssæt
- Histogrammer
- Sumkurver