- 998 (Registered)
-
(0 Reviews)
Introduktion til finansiel regning
Finansiel regning omhandler regning med penge. I dette forløb vil fokus særligt være på, hvordan saldoen på en konto udvikler sig over tid (en opsparing eller et lån). Der vil typisk være en rente på en konto, som giver en løbende relativ vækst, og finansiel regning gør derfor ofte brug af den matematik, der knytter sig til eksponentielle funktioner. Kapitalfremskrivningsformlen, som bliver introduceret i dette modul, er et eksempel på dette. Overskrifterne for det der bliver gennemgået i modulet er:
- Kapitalfremskrivningsformlen
- Rentebegreber
Kapitalfremskrivningsformlen
Kapitalen på en konto på et givent tidspunkt vil kunne bestemmes med kapitalfremskrivningsformlen, hvis renten er konstant, og der kun betales et beløb ind på kontoen i starten:
Kapitalfremskrivningsformlen (renteformlen)
På en konto, hvor renten $r$ er konstant, og der kun indbetales ét beløb $K_0$ (startkapitalen), kan kapitalen $K_n$ efter $n$ terminer bestemmes med kapitalfremskrivningsformlen:
$$ K_n = K_0(1 + r)^n $$
Hvis der indsættes 10.000 kr. på en konto med en årlig rente på 5%, vil beløbet efter 10 år kunne beregnes med formlen:
$$ K_{10} = 10.000 (1 + 0,05)^{10} = 16.288,94 $$
Beløbet er dermed steget med 6.289 kr. i løbet af 10 år.
ØVELSE: KAPITALFREMSKRIVNINGSFORMLEN (BESTEMMELSE AF Kn)
Omskrivning af kapitalfremskrivningsformlen
Kapitalfremskrivningsformlen i den angivne form kan benyttes til at bestemme kapitalen efter $n$ terminer $K_n$, når de øvrige størrelser i formlen er kendt ($K_0$, $r$ og $n$). Ved at isolere de øvrige størrelser i formlen opnås formler, der kan benyttes til at bestemme de andre størrelser:
Formler til bestemmelse af $K_0$, $r$ og $n$
Formel til bestemmelse af startkapitalen:
$$ K_0 = K_n(1 + r)^{-n} $$
Formel til bestemmelse af renten:
$$ r = \sqrt[n]{\frac{K_n}{K_0}} \quad – 1 $$
Formel til bestemmelse af antal terminer:
$$ n = \frac{log(K_n)-log(K_0)}{log(1+r)} $$
Kapitalfremskrivningsformlen og dens omskrivninger gør det muligt at bestemme samtlige af de fire størrelser, hvis de tre øvrige størrelser i formlerne kendes. I det følgende vil blive vist eksempler på bestemmelse af $K_0$, $r$ og $n$.
Eksempel 1 (bestemmelse af startkapitalen $K_0$):
Det oplyses: $K_n$=20.000 kr.; $r$=7%; $n$=10
Slutkapitalen $K_n$ bestemmes vha. passende formel:
$$ K_0 = 20.000 (1 + 0,07)^{-10} = 10.166,99 $$
Startkapitalen var dermed på 10.166,99 kr.
ØVELSE: BESTEMMELSE AF STARTKAPITELEN (K0)
Eksempel 2 (bestemmelse af renten $r$):
Det oplyses: $K_n$=30.000 kr.; $K_0$=10.000; $n$=10
Renten $r$ bestemmes vha. passende formel:
$$ r = \sqrt[10]{\frac{30.000}{10.000}} \quad – 1 = 11,6\% $$
Renten er dermed på 11,6%.
ØVELSE: BESTEMMELSE AF RENTEN (r)
Eksempel 3 (bestemmelse af antal terminer $n$):
Det oplyses: $K_n$=40.000 kr.; $K_0$=10.000 kr.; $r$=8%
Antal terminer $n$ bestemmes vha. passende formel:
$$ n = \frac{log(40.000)-log(10.000)}{log(1+0,08)} = 18,01 $$
Den beregnede værdi af $n$ er lidt over 18. Siden $n$ kun kan antage hele værdier, plejer man at runde op til nærmeste hele tal (antal terminer der går, før 10.000 kr. er blevet til 40.000 kr. eller mere). I dette tilfælde bliver løsningen dermed 19 terminer.
ØVELSE: BESTEMMELSE AF ANTAL TERMINER (n)
Rentebegreber
Effektiv rente
En månedlig rente på 1% giver en årlig rente på mere end 12% pga. rentes rente. Den formel der beregner den årlige effektive rente $i$, når man kender den månedlige rente $r$ er følgende:
$$ i = (1+r)^{12} – 1 $$
Hvis den månedlige rente er på 1% kan man regne sig frem til, at den årlige effektive rente er lidt over 12%:
$$ i = (1+0,01)^{12} – 1 = 12,68\% $$
Omvendt, hvis man kender den årlige rente $i$, kan den månedlige rente $r$ beregnes med formlen:
$$ r = \sqrt[12]{1 + i} \quad – 1$$
Hvis den årlige rente er på 12% vil den månedlige rente være lidt under 1%:
$$ r = \sqrt[12]{1 + 0,12} \quad – 1 = 0,95\% $$
Gennemsnitlig rente
Ved variabel rente beregnes den gennemsnitlig rente ikke efter den sædvanlige metode, der ellers benyttes, når der beregnes et gennemsnit (“sum/antal“). Der benyttes derimod et lidt andet udtryk, når gennemsnittet skal udregnes:
Gennemsnitlige rente
På en konto med variabel rente bestemmes den gennemsnitlige rente for en periode på $n$ terminer med følgende formel:
$$ r_g = \sqrt[n]{(1+r_1)(1+r_2)…(1+r_n)} – 1 $$
hvor $r_1$, $r_2$, $r_3$ … $r_n$ er renterne for de $n$ terminer.
Følgende svarer til bestemmelse af den gennemsnitlige kvartalvise rente på en konto, hvor renten for fire kvartaler har være 1,1%, 1,9%, 2,7% og 2,4%:
$$ r_g = \sqrt[4]{(1+0,011)(1+0,019)(1+0,027)(1+0,024)} – 1 = 2,02\% $$
Den gennemsnitlige kvartalvise rente er dermed på 2,02%.
Opsamling
Dette modul har givet en introduktion til emnet finansiel regning, kapitalfremskrivningsformlen og nogle rentebegreber. Ved gennemgang af dette modul har du fået en forståelse for følgende:
- Kapitalfremskrivningsformlen
- Omskrivning af kapitalfremskrivningsformlen
- Effektiv rente
- Gennemsnitlig rente