- 998 (Registered)
-
(0 Reviews)
Eksponentielle ligninger
En ligning, hvor den ubekendte x er en eksponent kaldes en eksponentiel ligning. Det er ikke muligt at bestemme den ubekendte i en eksponentiel ligning udelukkende ved brug af de basale regneoperationer (plus, minus, gange, divider), som ellers er tilfældet ved almindelige førstegradsligninger. En anden tilgang er nødvendig. I dette modul vil følgende blive gennemgået:
- Hvad er eksponentielle ligninger?
- Løsning ved beregning (analytisk løsning)
- Grafisk aflæsning af løsningen til ligninger
Eksponentielle ligninger
I eksponentielle ligninger er den ubekendte en eksponent (f.eks. $5=2^x$). De bliver ofte anvendt, når man arbejder med udviklinger, hvor der er konstant relativ vækst. Som eksempel kan man tage udviklingen i smitte af Corona. Lad os forestille os, at antallet af smittede med en ny virus vokser eksponentielt med en fordobling i nye tilfælde om dagen. Et relevant spørgsmål kunne være, hvor mange dage der går fra der er én smittet, til der vil være mere end 1.000 nye smittede personer om dagen? Dette kan beskrives med en eksponentiel ligning:
$$ 2^x = 1.000 $$
Løsning af denne ligning vil bestemme, hvor mange dage der går efter det første smittetilfælde, før der vil være 1.000 nye daglige smittetilfælde. Ved løsning af ligningen vil man se, at efter 10 dage vil antallet af nye smittede overstige 1.000.
ØVELSE: INTRODUKTION TIL EKSPONENTIELLE LIGNINGER
Beregning af en løsning til eksponentielle ligninger
Løsning af én ligning med én ubekendt
Logaritmer er centrale, når man skal beregne løsningen til en eksponentiel ligning. Man har brug for følgende logaritmeregneregel:
$$ log(a^x) = x \cdot log(a) $$
Lad os se, hvordan reglen kan bruges til at løse følgende eksponentielle ligning:
$$ 2^x = 1.000 $$
Man starter med at tage logaritmen på begge sider:
$$ log(2^x) = log(1.000) $$
$$ x \cdot log(2) = 3 $$
$$ x = 3/log(2) $$
$$ x = 9,966 $$
ØVELSE: LØSNING AF ÉN LIGNING MED ÉN UBEKENDT
Løsning af to ligninger med to ubekendte
Når man har to eksponentielle udviklinger, og man ønsker at bestemme ved hvilken værdi af x, de to udviklinger har samme værdi af y, skal man løse to ligninger med to ubekendte. Som eksempel kan man se på to varianter af en virus. Antallet af nye smittetilfælde med den ældste variant er aftagende med en halvering hver uge, og nye smittetilfælde med den nye variant fordobles hver uge. Dette kan beskrives med to eksponentielle ligninger:
$$ y = 1.000 \cdot 0,5^x $$
$$ y = 1 \cdot 2^x $$
Her antages det, at der til at begynde med er 1.000 tilfælde af den gamle variant, når det første tilfælde af den nye variant opstår. Løsning af ligningerne vil bestemme, hvor mange uger der går (x) før den nye variant er dominerende, og hvor mange nye smittetilfælde der vil være med hver af varianterne (y). Dette gøres her med substitutionsmetoden (højre side sættes lig med højre side):
$$ 1 \cdot 2^x = 1.000 \cdot 0,5^x $$
$$ \frac{2^x}{0,5^x} = \frac{1.000}{1} $$
$$ (\frac{2}{0,5})^x = 1.000 $$
$$ 4^x = 1.000 $$
$$ log(4^x) = log(1.000) $$
$$ x \cdot log(4) = 3 $$
$$ x = \frac{3}{log(4)} $$
$$ x = 4,983 $$
Dvs. efter 5 uger vil den nye variant være dominerende.
Antallet af nye smittetilfælde for hver af varianterne kan bestemmes med én af de oprindelige ligninger:
$$ y = 1 \cdot 2^{4,983} = 31,6 $$
ØVELSE: LØSNING AF TO LIGNINGER MED TO UBEKENDTE
Grafisk løsning af eksponentielle ligninger
Det er ikke altid muligt at beregne løsningen til ligninger. Tag f.eks. to ligninger med to ubekendte, hvor den ene ligning er eksponentiel og den anden ligning er lineær:
$$ y = 2^x $$
$$ y = 1.000x + 100.000 $$
Her kan man ikke beregne løsningen. Men man kan tegne graferne svarende til de to ligninger fortolket som forskrifter. Ved aflæsning af skæringspunktet mellem graferne finder man, at løsningen er:
x = 16,834 ∧ y = 116.834
ØVELSE: GRAFISK LØSNING AF EKSPONENTIELLE LIGNINGER
Opsamling
Dette modul har givet en introduktion til løsning af eksponentielle ligninger. Modulet har givet en forståelse for følgende:
- Introduktion til eksponentielle ligninger
- Analytisk bestemmelse af eksponentielle ligninger
- Grafisk løsning af eksponentielle ligninger
Opgaver
OPGAVE: Eksponentielle ligninger