Lån

Dette modul omhandler annuitetslån – lån der løbende afbetales. I modulet vil blive introduceret:

• Hvad er et annuitetslån?
• Formel til bestemmelse af nutidsværdien af en annuitet (gældsformlen)
• Omskrivninger af gældsformlen

Lån – nutidsværdi af en annuitet

Gældsformlen – Bestemmelse af nutidsværdien af en annuitet

Det beløb man låner omtales som nutidsværdien af en annuitet, hvis renten er fast, og gælden afbetales løbende med lige store ydelser. Hvis man kender ydelsernes størrelser, renten og antallet af afbetalinger kan størrelsen af lånet bestemmes med følgende formel:

Gældsformlen – nutidsværdien af en annuitet

Størrelsen på et lån A₀ med en fast rente r som afbetales over n terminer med en fast ydelse y, kan bestemmes med gældsformlen:

$$ A_0 = y \frac{1-(1 + r)^{-n}}{r} $$

A₀ kaldes nutidsværdien af en annuitet eller hovedstolen.

Lad os antage, at en familie vil låne til et hus. Hvis de har mulighed for at betale 10.000 kr. af på lånet om måneden, den månedlige rente er 0,2%, og løbetiden på lånet er 30 år (360 måneder), så kan familien låne følgende beløb:

$$ A_0 = 10.000 \frac{1-(1 + 0,002)^{-360}}{0,002} = 2.563.488,12 $$

Familien kan altså købe et hus til lidt over 2,5 millioner kroner.

ØVELSE: BESTEMMELSE AF NUTIDSVÆRDIEN AF EN ANNUITET

Omskrivning af gældsformlen – bestemmelse af y, n og r

Formlen kan omskrives således, at man får eksplicitte udtryk til bestemmelse af ydelsen y eller antal afbetalinger n:

Formler til bestemmelse af y og n

Formel til bestemmelse af ydelsen:

$$ y = A_0 \frac{r}{1-(1 + r)^{-n}} $$

Formel til bestemmelse af antal afbetalinger:

$$ n = -\frac{log(1-\frac{A_0 \cdot r}{y})}{log(1+r)} $$

Der findes ikke nogen formel til bestemmelse af renten r. Renten skal bestemmes grafisk eller som løsning til en ligning vha. et CAS-værktøj. I det følgende vil blive vist eksempler på bestemmelse af y, n og r.

Bestemmelse af ydelsen y

Kendte størrelser: A_n=10.000 kr.; r=1%; n=10

Formlen til bestemmelse af ydelsen anvendes:

$$ y = 10.000 \frac{0,01}{1-(1 + 0,01)^{-10}} = 1.055,82 $$

Det vil sige, at ydelsen for det pågældende annuitetslån er på 1.055,82 kr.

ØVELSE: BESTEMMELSE AF YDELSEN

Bestemmelse af antal ydelser n

Kendte størrelser: A₀=10.000 kr.; y=1.000 kr.; r=1%

Formlen til bestemmelse af antal afbetalinger anvendes:

$$ n = -\frac{log(1-\frac{10.000 \cdot 0,01}{1.000})}{log(1+0,01)} = 10,59 $$

Antallet af ydelser er lidt over 10. Dette svarer til, at lånet kan betales af ved at betale 10 ydelser á 1.000 kr. og én ydelse, der er mindre end 1.000 kr.

ØVELSE: BESTEMMELSE AF ANTAL AFBETALINGER

Bestemmelse af renten r

Kendte størrelser: A_n=10.000 kr.; y=1.000 kr.; n=10

Der findes ikke nogen formel til bestemmelse af renten. Renten må derfor bestemmes numerisk vha. en computer eller ved at “gætte” sig frem. I det konkrete tilfælde er renten 0%.

ØVELSE: BESTEMMELSE AF RENTEN

Opsamling

Dette modul har givet en introduktion til annuitetsregning og opsparinger. Modulet har givet en forståelse for følgende:

• Gældsformlen
• Bestemmelse af nutidsværdien af en annuitet A₀
• Bestemmelse af ydelsen y
• Bestemmelse af antal afbetalinger n
• Bestemmelse af renten r

TEST: LÅN

Opgaver

OPGAVE: Lån

Eksterne links

• Bevis for nutidsværdien af en annuitet
• Annuitetslån