- 998 (Registered)
-
(0 Reviews)
Vektorregning og geometri
I dette modul vil blive behandlet anvendelse af vektorregningen inden for geometri og trigonometri. Overskrifterne er:
- Trekant bestående af vektorer (indskudsreglen)
- Bevis for cosinusrelationerne vha. vektorer
- Parallelogram udspændt af vektorer
- Areal af et parallelogram og en trekant
Trekant bestående af vektorer (indskudsreglen)
For en trekant, hvor de tre sider består af repræsentationerne af vektorer, gælder der følgende forhold mellem vektorerne:
Indskudsreglen
Lad ΔABC være en trekant. Da gælder følgende forhold mellem vektorer, der repræsenteres af pile mellem hjørnerne i trekanten:
$$ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} $$
Bevis for cosinusrelationerne vha. vektorer
Vektorer kan være nyttige ved behandling af plangeometriske problemstillinger. For eksempel gør regnereglerne for vektorer dem nyttige når cosinusrelationerne skal bevises:
Cosinusrelationerne
For en vilkårlig trekant ΔABC gælder for en vinkel C, at kvadratet af den modstående side c er summen af kvadratet af de to hosliggende sider a og b minus 2 gange produktet af de to hosliggende sider og cosinus til vinklen:
$$ c^2 = a^2 + b^2 – 2ab \cdot cos(C) $$
Beviset for cosinusrelationerne vha. vektorer vil nu blive gennemgået.
Først konstrueres trekanten ΔABC vha. repræsentationerne af vektorerne AB, BC og AC. For simpelhedens skyld vil vektorerne følgende blive kaldt c (for AB), a (for BC) og b (for AC). Indskudsreglen giver følgende sammenhæng mellem de tre vektorer:
$$ \overrightarrow{c} + \overrightarrow{a} = \overrightarrow{b} $$
$$ \overrightarrow{c} = \overrightarrow{b} – \overrightarrow{a} $$
Ved at opløfte begge sider af lighedstegnet i anden (tager skalarproduktet med sig selv) fås følgende udtryk:
$$ \overrightarrow{c}^2 = (\overrightarrow{b} – \overrightarrow{a})^2 = \overrightarrow{b}^2 + \overrightarrow{a}^2 – \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{a} – \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} $$
$$ |\overrightarrow{c}|^2 = |\overrightarrow{a}|^2 + |\overrightarrow{b}|^2 – 2\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} $$
Skalarproduktet af vektor a og b kan udtrykkes som |a||b|·cos(C) (C er vinklen mellem a og b). Vektorernes længder kan erstattes med sidernes længder (|a| = a, |b| = b og |c| = c):
$$ c^2 = a^2 + b^2 – 2ab \cdot cos(C) $$
Dette er netop cosinusrelationen mellem siderne og vinkel C, hvorved det ønskede er bevist.
ØVELSE: COSINUSRELATIONERNE OG VEKTORER
Parallelogram udspændt af vektorer
En vigtig anvendelse af vektorer er ved behandling af kræfter (f.eks. tyngdekraften). Kræfter har en talstørrelse og en retning og kan derfor repræsenteres som en vektor. Hvis to forskellige kræfter virker på et objekt, vil den resulterende kræft være vektorsummen af de to kræfter. En almindelig måde at beskrive den resulterende kræft på er ved hjælp af kræfternes parallelogram:
Kræfternes parallelogram
Summen af vektorerne a og b (a+b) er repræsenteret af diagonalen af det parallelogram, der er udspændt af de to vektorer (med samme begyndelsespunkt som a og b).
ØVELSE: KRÆFTERNES PARALLELOGRAM
Areal af et parallelogram og en trekant
En geometrisk betydning af determinanten af et vektorpar er, at den beskriver arealet af det parallelogram, der udspændes af de to vektorer:
Areal af et parallelogram og en trekant
Lad et parallelogram og en trekant være udspændt af to vektorer a og b. Da er arealet Ap af parallelogrammet givet som den numeriske værdi af vektorparret (a,b):
$$ A_p = |det(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})| $$
Arealet af trekanten At er givet som halvdelen af den numeriske værdi af determinanten:
$$ A_t = ½|det(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})| $$
Opsamling
I dette modul er blevet gennemgået anvendelse af vektorer til behandling af plangeometriske problemer. Du har nu fået en forståelse af følgende:
- Konstruktion af en trekant ud fra vektorer (indskudsreglen)
- Bestemmelse af længden af differensen af to vektorer vha. af skalarproduktet (alternativ formulering af cosinusrelationerne vha. vektorer)
- Bestemmelse af arealet af en trekant og et parallelogram vha. determinanten
TEST: VEKTORREGNING OG GEOMETRI
Opgaver
OPGAVE: Vektorregning og Geometri