Determinant af vektorpar

I dette modul vil blive beskrevet begrebet determinant, der ligesom skalarproduktet er en talværdi, der kan bestemmes ud fra to vektorer. I modulet vil blive gennemgået definitionen af determinanten af et vektorpar, samt nogle anvendelser. Overskrifterne er:

• Hvad er en determinant?
• Vinkel mellem vektorer
• Løsning af to ligninger med to ubekendte

Hvad er en determinant?

Determinant for et vektorpar er defineret som følgende:

Determinant af et vektorpar

Determinanten for vektorparret (a,b) er defineret som skalarproduktet af tværvektoren til a (â) og vektor b:

$$ det(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}) = \hat{a} \cdot \overrightarrow{b} $$

Hvis vektorkoordinaterne for a og b henholdsvis er (a₁,a₂)^t og (b₁,b₂)^t vil determinanten være givet som:

$$ det(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}) = \begin{vmatrix} a_{1} & b_{1} \\ a_{2} & b_{2} \end{vmatrix} = a_1b_2 – a_2b_1 $$

For eksempel vil determinanten mellem vektoren (1,1) og (-1,-1) være givet som:

$$ \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-1) – 1 \cdot (-1) = 0  $$

Modsat for skalarprodukt er rækkefølgen af vektorparret ikke ligegyldig, når determinanten skal bestemmes. En ombytning af rækkefølgen af vektorerne betyder en ændring af fortegnet af determinanten:

$$ det(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}) = -det(\overrightarrow{b},\overrightarrow{a}) $$

ØVELSE: DETERMINANT

Vinkel mellem vektorer

Retning af vinkel mellem vektorer

Ud fra determinanten er det muligt at afgøre om vinklen mellem de to vektorer er med uret (negativ omløbsretning) eller mod uret (positiv omløbsretning):

Fortegn af determinant

Lad v være den vinkel fra vektor a til vektor b, der numerisk er mindst (højst 180º). Da vil der være følgende sammenhæng mellem vinklen og determinanten:

$$ det(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}) > 0 \ \ \ \Leftrightarrow \ \ \  v>0^\circ \ (positiv \ omløbsretning) $$

$$ det(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}) = 0 \ \ \ \Leftrightarrow \ \ \  v=0^\circ \ eller \  v=180^\circ \ (parallelle \ vektorer) $$

$$ det(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}) < 0 \ \ \ \Leftrightarrow \ \ \  v<0^\circ \ (negativ \ omløbsretning) $$

For eksempel kan man afgøre, at vektorparret har en positiv omløbsretning for vinklen, der går fra vektor a = (1,0)^t til b = (0,1)^t, da fortegnet af determinanten af vektorparret (a,b) er positiv:

$$ det(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}) = \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot 1 – 0 \cdot 0 = 1 $$

ØVELSE: FORTEGN AF VINKEL MELLEM VEKTORER

Bestemmelse af vinkel mellem vektorer

Sammenhængen mellem determinanten af et vektorpar og vinklen mellem vektorerne er givet med følgende formel:

Sammenhæng mellem vinkel og determinant

Lad a og b være to egentlige vektorer, og lad v være den vinkel fra a til b, der numerisk er mindst (højst 180º). Da er determinanten af vektorparret (a,b) givet som:

$$ det(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}) = |\overrightarrow{a}| \cdot |\overrightarrow{b}| \cdot sin(v) $$

Ved omskrivning fås formlen for sinus:

$$ sin(v) = \frac{det(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})}{|\overrightarrow{a}| \cdot |\overrightarrow{b}|} $$

Som eksempel på anvendelse af sammenhængen kan man bestemme vinklen fra vektor a=(1,2)^t til vektor b=(2,1)^t. Først bestemmes determinanten af vektorparret (a,b) og længderne af vektorerne:

$$ det(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}) = \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot 1 – 2 \cdot 2 = -3 $$

$$ |\overrightarrow{a}| = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5} $$

$$ |\overrightarrow{b}| = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5} $$

Nu kan vinklen v bestemmes ved først at bestemme sinus:

$$ sin(v) = \frac{det(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})}{|\overrightarrow{a}| \cdot |\overrightarrow{b}|} = \frac{-3}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = -0,6 $$

$$ v = sin^{-1}(-0,6) = -36,87^\circ $$

Det vil sige at vinklen fra a til b er i negativ omløbsretning (med uret).

ØVELSE: BESTEMMELSE AF VINKLER VHA. DETERMINANT

Løsning af to ligninger med to ubekendte

Determinanter bliver ofte anvendt, når flere ligninger med flere ubekendte skal behandles. Som eksempel vil her blive beskrevet, hvordan determinanter kan anvendes til at løse to ligninger med to ubekendte:

Løsning af to ligninger med to ubekendte

Lad to ligninger med to ubekendte være givet som:

$$ a_1x+b_1y = c_1 $$

$$ a_2x + b_2y = c_2 $$

Lad koefficienterne være koordinater i vektorerne a, b og c:

$$ \overrightarrow{a} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix}, \ \ \ \overrightarrow{b} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix}, \ \ \ \overrightarrow{c} = \begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \end{pmatrix} $$

Da kan de to ukendte x og y bestemmes ud fra determinanter af vektorpar vha. følgende formler:

$$ x = \frac{det(\overrightarrow{c},\overrightarrow{b})}{det(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})} $$

$$ y = \frac{det(\overrightarrow{a},\overrightarrow{c})}{det(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})} $$

Som eksempel kan man bruge formlerne til at bestemme x– og y-koordinaten for skæringspunktet mellem to lineære funktioner med forskrifterne:

$$ y = -3x + 5 $$

$$ y = 2x – 3 $$

Disse to ligninger med to ubekendte kan bestemmes med metoden, men først skal konstantledet isoleres på højre side:

$$ 3x + 1y = 5 $$

$$ -2x + 1y = -3 $$

De relevante determinanter sættes ind i formlerne til bestemmelse af x og y:

$$ x = \frac{\begin{vmatrix} 5 & 1 \\ -3 & 1 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 3 & 1 \\ -2 & 1 \end{vmatrix}} = \frac{5 \cdot 1 – 1 \cdot (-3)}{3 \cdot 1 – 1 \cdot (-2)} = \frac{8}{5} = 1,6 $$

$$ y = \frac{\begin{vmatrix} 3 & 5 \\ -2 & -3 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 3 & 1 \\ -2 & 1 \end{vmatrix}} = \frac{3 \cdot (-3) – 5 \cdot (-2)}{3 \cdot 1 – 1 \cdot (-2)} = \frac{1}{5} = 0,2 $$

Skæringspunktet mellem de to lineære funktioner har dermed koordinatsættet (1.6;0.2).

ØVELSE: LØSNING AF LIGNINGER VHA. DETERMINANETER

Opsamling

I dette modul er blevet arbejdet med determinanten af et vektorpar, samt anvendelse af determinanten ved bestemmelse af vinklen mellem to vektorer. Du har nu opnået en forståelse af følgende:

• Hvordan du bestemmer determinanten af et vektorpar (definition af determinant)
• Hvordan determinanten kan anvendes til at bestemme vinklen mellem to vektor, inklusiv den relative orientering mellem vektorerne (det(a·b) = |a||b|sin(v))
• At determinanten kan anvendes til at løse ligninger

TEST: DETERMINANTER

Opgaver

OPGAVE: Determinanter

Eksterne links

• Determinant – hvad er det?
• Vinkel mellem vektorer
• Løsning af to ligninger med to ubekendte