Trigonometri og retvinklede trekanter

I dette modul gennemgås, hvordan man kan anvende de trigonometriske funktioner til at bestemme vinkler og sidelængder i retvinklede trekanter. Overskrifterne er:

• Trigonometriske funktioner og retvinklede trekanter
• Bestemmelse af vinkler i retvinklede trekanter
• Bestemmelse af sider i retvinklede trekanter

Trigonometriske funktioner og retvinklede trekanter

En nyttig anvendelse af trigonometri er ved bestemmelse af vinkler og sider i retvinklede trekanter. Der findes nemlig følgende simple formler til bestemmelse af cosinus, sinus og tangens til en spids vinkel i en retvinklet trekant:

Trigonometriske funktioner og retvinklede trekanter

For en retvinklet trekant angiver C den rette vinkel og A og B angiver de to spidse vinkler. Da gælder følgende formler til bestemmelse af de trigonometriske funktioner til vinkel A:

$$ cos(A) = \frac{b}{c} $$

$$ sin(A) = \frac{a}{c} $$

$$ tan(A) = \frac{a}{b} $$

c angiver her hypotenusen og a og b angiver henholdsvis den modstående og hosliggende katete til vinkel A.

For eksempel for en spids vinkel v i en retvinklet trekant med længder på henholdsvis 6 og 8 af den hosliggende og modstående katete og en længde på 10 af hypotenusen vil cos(v), sin(v) og tan(v) være givet som:

$$ cos(v) = \frac{6}{10} = 0,6 $$

$$ sin(v) = \frac{8}{10} = 0,8 $$

$$ tan(v) = \frac{8}{6} = 1,3333 $$

ØVELSE: BESTEMMELSE AF COS, SIN OG TAN

Bestemmelse af vinkler i retvinklede trekanter

Ved hjælp af formlerne til bestemmelse af de trigonometriske funktioner er det muligt at bestemme de spidse vinkler, hvis man kender længderne af to sider. For eksempel hvis man ved, at hypotenusen er 10, og den hosliggende katete til en vinkel er 6, kan man bestemme vinklen v vha. af formlen for cosinus:

$$ cos(v) = \frac{6}{10} = 0,6 $$

$$ v = cos^{-1}(0,6) = 53,130^\circ $$

Den anden spidse vinkel u ville ligeledes kunne bestemmes vha. af formlen for sinus da 6 er denne vinkels modstående katete:

$$ sin(u) = \frac{6}{10} = 0,6 $$

$$ u = sin^{-1}(0,6) = 36,870^\circ $$

Formlen for tangens vil kunne bruges til at bestemme de spidse vinkler, hvis man kender længderne af begge kateter.

ØVELSE: BESTEMMELSE AF VINKLER I RETVINKLEDE TREKANTER

Bestemmelse af sider i retvinklede trekanter

Formlerne kan ligeledes anvendes til at bestemme længden af siderne i en retvinklet trekant, hvis man kender en af de spidse vinkler og længden af en side. For eksempel, hvis man ved, at en vinkel er 60º, og den hosliggende katete har en længde på 100, kan længden af den modstående katete a bestemmes vha. formlen for tangens:

$$ tan(60^\circ) = \frac{a}{100} $$

$$ a = 100 \cdot tan(60^\circ) = 173,205 $$

Længden af hypotenusen c kan ligeledes bestemmes vha. formlen for cosinus:

$$ cos(60^\circ) = \frac{100}{c} $$

$$ c = \frac{100}{cos(60^\circ)} = 200 $$

ØVELSE: BESTEMMELSE AF SIDER I RETVINKLEDE TREKANTER

Opsamling

Dette modul omhandlede trigonometriske beregninger ved retvinklede trekanter, og i den forbindelse er blevet beskrevet sammenhængen mellem længden af siderne og størrelsen af de spidse vinkler. Ved gennemgang af dette modul har du fået en forståelse for:

• Bestemmelse af trigonometriske funktioner til vinkler i retvinklede trekanter
• Bestemmelse af vinkler i retvinklede trekanter (når længden af siderne kendes)
• Bestemmelse af længden af sider i retvinklede trekanter (når størrelsen af vinkler kendes)

TEST: TRIGONOMETRI OG RETVINKLEDE TREKANTER

Opgaver

OPGAVE: Trigonometri og retvinklede trekanter

Eksterne links

• Cosinus, sinus og tangens i retvinklede trekanter
• Beregning af vinkel
• Bestemmelse af sider