Nulpunkter for et andengradspolynomium

I dette modul beskrives, hvordan man bestemmer rødderne for et andengradspolynomium. I modulet gennemgås følgende:

• Betydning af rødder for et andengradspolynomium
• Nulpunktsformlen
• Andengradsligninger

Bestemmelse af rødder for et andengradspolynomium

Nulpunkterne (skæring med x-aksen) for et polynomium kaldes for rødder. For et andengradspolynomium findes 0, 1 eller 2 rødder, afhængigt af, hvor parablen er i forhold til x-aksen. Der findes følgende formel til bestemmelse af rødderne for et andengradspolynomium:

Nulpunktsformlen

Lad et andengradspolynomium have forskriften

$$ f(x) = ax^2+bx+c $$

Diskriminanten d for andengradspolynomiet er defineret som

$$ d = b^2 – 4ac $$

Rødderne (nulpunkterne) for andengradspolynomiet kan da bestemmes med formlen

$$ x = \frac{-b \pm \sqrt{d}}{2a} $$

Siden plus/minus kvadratroden af diskriminanten indgår som et led i formlen, vil der gælde følgende sammenhæng mellem fortegnet af d og antallet af rødder:

d < 0 ⇒ Der findes ingen rødder (man kan ikke tage kvadratroden af et negativt tal)

d = 0 ⇒ Der findes én rod (“+” og “–” kvadratroden af d giver samme løsning)

d > 0 ⇒ Der findes to rødder (“+” og “–” kvadratroden af d giver forskellige løsninger)

Eksempel 1: For polynomiet f(x)=-7x²+14x+28 vil formlerne kunne bestemme rødderne. Først bestemmes diskriminanten:

$$ d = 14^2 – 4 \cdot (-7) \cdot 28 = 980 $$

Siden diskriminanten er positiv, vil der være to løsninger. De kan nu bestemmes vha. af nulpunktsformlerne:

$$ x = \frac{-14 \pm \sqrt{980}}{2 \cdot (-7)} = \begin{cases}
-1,236 \\
3,236  \\
\end{cases} $$

Fordi d er positiv har polynomiet to rødder og værdierne er –1,236 og 3,236.

ØVELSE: RØDDER FOR ANDENGRADSPOLYNOMIUM

Løsning af andengradsligning

Andengradsligninger er ligninger, hvor der indgår et led med x opløftet i anden (f.eks. 2x²+3x-9=0). Generelt kan en andengradsligning altid omskrives til en ligning på formen:

$$ ax^2+bx+c=0 $$

På denne form kan formlerne til bestemmelse af nulpunkter for et andengradspolynomium bruges til at løse ligningen:

$$ x = \frac{-b \pm \sqrt{d}}{2a} $$

hvor diskriminanten d er givet som:

$$ d = b^2 – 4ac $$

Eksempel 2: En andengradsligninger, der ønskes løst, har følgende udtryk:

$$ x^2+x-1=0 $$

Siden “0” er isoleret på den ene side, kan nulpunktsformlen anvendes til at løse ligningen med a=1, b=1 og c=-1. Først bestemmes diskriminanten d:

$$ d=1^2-4 \cdot 1 \cdot (-1) = 5 $$

Siden diskriminanten er positiv, vil der være to løsninger. De kan nu bestemmes vha. af nulpunktsformlerne:

$$ x = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1} = \begin{cases} -1,61803 \\ 0,61803 \end{cases} $$

ØVELSE: LØSNING AF ANDENGRADSLIGNINGER

Opsamling

I dette modul er blevet beskrevet, hvordan man kan bestemme rødderne for et andengradspolynomium vha. af nulpunktsformlen. Ved gennemgang af dette modul har du opnået forståelse for følgende:

• Betydning af rødder for et andengradspolynomium
• Hvordan rødder kan bestemmes vha. nulpunktsformlen
• Løsning af andengradsligninger

TEST: NULPUNKTER FOR ET ANDENGRADSPOLYNOMIUM

 

Eksterne links

• Bestemmelse af rødder for et andengradspolynomier
• Hvordan løser man en andengradsligning?