- 998 (Registered)
-
(0 Reviews)
Tal og bogstaver
De fleste emner inden for matematik gør brug af tal og symbolsprog. Tag f.eks. den lineære funktion givet ved udtrykket:
$$ y=2x+4 $$
Her indgår tallene “2” og “4”, samt symbolerne “x” og “y“. Værdien af y for x lig med 10, vil kunne beregnes ud fra udtrykket:
$$ y=2 \cdot 10+4 = 24 $$
Som det ses af eksemplet, involverer arbejde med funktioner både regning med tal, samt anvendelse af symbolsprog i form af bogstaveudtryk. Dette modul omhandler talbegrebet og regning med tal (aritmetik), samt manipulation af matematiske udtryk, der indeholder bogstaver (algebra). Overskrifterne er:
- Regning med tal (aritmetik)
- Tal og intervaller
- Regnearternes hierarki
- Bogstaveregning (algebra)
- Matematiske udtryk der indeholder bogstaver
- Ligninger
- Uligheder
Regning med tal (aritmetik)
Aritmetik er den gren inden for matematik der omhandler regning med tal. Det er den ældste matematiske disciplin og den første form for matematik, man stifter bekendtskab til.
Tal og intervaller
De reelle tal dækker over mængden af alle tal man kan have brug for til at beskrive virkelige størrelser (f.eks. højder eller vægten på et lod). En måde at beskrive de reelle tal matematisk er som punkter på en tallinje, der går mellem minus uendelig (–∞) og plus uendelig (∞):
Tallinjen gør det muligt at beskrive tallenes egenskaber geometrisk. Et givent tal kan ses som afstanden mellem et givent punkt på tallinjen og punktet svarende til “0”. Positive tal ligger til højre for “0”, mens negative tal ligger til venstre for “0” (negativ afstand).
Et interval af tal svarer til alle punkterne, der er mellem to punkter på tallinjen. En notation for et interval er at skrive de to tal svarende til endepunkterne inde i en firkantet parentes. Intervallet [–2;2] er alle tal mellem –2 og 2, inklusiv endepunkterne. Hvis et endepunkt ikke skal være en del af intervallet vendes den firkantede parenteser væk fra tallet, hvilket for intervallet mellem to tal giver fire muligheder:
- [–2;2] ~ fra og med –2 til og med +2
- [–2;2[ ~ fra og med –2 til men ikke med +2
- ]–2;2] ~ fra men ikke med –2 til og med +2
- ]–2;2[ ~ fra men ikke med –2 til men ikke med +2
Regnearternes hierarki
Når et regnestykke indeholder flere forskellige regneoperationer, er det ikke ligegyldigt hvilken regneoperation, der udføres først. Tag f.eks. følgende udtryk:
$$ 3 + 6/3 = ? $$
Her skal man først dividere og efterfølgende lægge sammen:
$$ 3 + 6/3 = 3+2=5 $$
Det ville være forkert at lægge sammen først og efterfølgende dividere. Hvis man ønsker at bytte om på rækkefølgen kan dette dog gøres ved at bruge en parentes:
$$ (3 + 6)/3 = 9/3 = 3 $$
Her bliver udtrykket inden for parentesen først udregnet (“3+6”). Efterfølgende bliver der divideret. Den korrekte rækkefølge for udførelse af de forskellige operationer ved udregning af et givent regneudtryk kaldes regnearternes hierarki:
Regnearternes hierarki
Et regneudtryk der involverer forskellige operationer udregnes i følgende rækkefølge:
- Ophæv parenteser (udregn udtryk inde i parentesen)
- Udregn potenser og rødder
- Gang og divider
- Plus og minus
Ved et simpelt regnestykke uden parenteser vil regnearternes hierarki give anledning til følgende trin:
$$ 1 \cdot 2 + 6/3 + 2^2 = $$
$$ 1 \cdot 2 + 6/3 + 4 = $$
$$ 2 + 2 + 4 = 8 $$
ØVELSE: REGNEARTERNES HIERARKI
Bogstaveregning (algebra)
Den gren af matematikken der omhandler regning med bogstaver kaldes algebra. Forskriften for en funktion er et eksempel på et matematisk udtryk, der indeholder bogstaver, og håndtering af bogstaveudtryk er derfor en integreret del af funktionsteori.
Matematiske udtryk der indeholder bogstaver
I forskriften for en funktion bliver bogstaver brugt som pladsholdere for tal. For eksempel i den generelle forskrift for en lineær funktioner:
$$ y = ax + b $$
Her er alle fire bogstaver pladsholdere for ukendte talværdier. Der skelnes her mellem to typer af ubekendte. a og b kaldes konstanter, da de repræsenterer talværdier, der har en fast værdi (vi kender dem bare ikke). x og y kaldes variabler, da deres værdier ikke er faste (når x ændres så ændres y også). I funktionsforskrifter er der tradition for, at de første bogstaver i alfabetet anvendes til at repræsentere konstanter (a, b, c og d), mens de sidste bogstaver anvendes til at repræsentere variabler (x, y og z).
Modsat tal kan to forskellige bogstaver ikke lægges sammen. Men hvis der i et udtryk indgår flere led eller faktorer med det samme bogstav, kan de ofte komprimeres:
$$ a + 2a + b \cdot b = 3a + b^2 $$
Et udtryk siges at blive reduceret, når det omskrives til et udtryk med færre led og faktorer.
Ligninger
En ligning er et matematisk udtryk, der indeholder et lighedstegn, som:
$$ x+3 = 5 $$
Her kaldes x den ubekendte, da den er pladsholder for en ukendt talværdi. En værdi af den ubekendte, der får lighedstegnet til at stemme, kaldes en løsning til ligningen. I dette tilfælde kan man se, at løsningen til ligningen er 2 da:
$$ 2 + 3 = 5 $$
En ligning kan løses trinvis ved at udføre den samme operation på begge sider af lighedstegnet. For ligningen ville man kunne komme frem til løsningen ved at trække 3 fra på begge sider af lighedstegnet:
$$ x+3 = 5 $$
$$ x+3-3 = 5-3 $$
$$ x = 2 $$
Uligheder
En ulighed er et udtryk, der beskriver, at noget er større eller mindre end noget andet, og involverer et ulighedstegn. For eksempel vil uligheden “5 er større end 2” kunne skrives på følgende måde:
$$ 5 \gt 2 $$
Symbolet “>” betyder større end. Der findes i alt fire forskellige ulighedstegn:
- > ~ større end
- < ~ mindre end
- ≥ ~ større end eller lig med
- ≤ ~ mindre end eller lig med
Uligheder bliver ofte brugt til at angive intervaller. For eksempel betyder følgende udtryk det samme
- x i intervallet [–2;2] ~ –2≤x≤2
- x i intervallet [–2;2[ ~ –2≤x<2
- x i intervallet ]–2;2] ~ –2<x≤2
- x i intervallet ]–2;2[ ~ –2<x<2
Løsning af uligheder
Uligheder kan omskrives på samme måde som ligninger ved at gøre det samme på begge sider af ulighedstegnet. For eksempel er følgende to uligheder ensbetydende:
$$ x+5 \le 10 $$
$$ x \le 5 $$
Den anden ulighed fremkommer ved at trække 5 fra på begge sider af ulighedstegnet. Ved omskrivningen bliver x isoleret. Denne ulighed angiver, at x er mindre end eller lig med 5. Dette kan også skrives som:
$$ x \in ]-\infty;5] \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (x \ inden \ for \ intervallet \ ]-\infty;5]) $$
Dette interval angiver de tilladte værdier af x og kaldes derfor en løsning til den oprindelige ulighed.
Proceduren ved løsning af uligheder er stort set den samme som ved løsning af ligninger. Så længe man udfører den samme operation på begge side af ulighedstegnet, vil ulighedstegnet stå ved magt. Der er dog den undtagelse, at når man ganger eller dividerer med et negativt tal på begge sider af ulighedstegnet så vendes ulighedstegnet. Dette er demonstreret med følgende omskrivning:
$$ -10x \le 1000 $$
$$ \frac{-10x}{-10} \ge \frac{1000}{-10} $$
$$ x \ge -100 $$
Løsningen kan i dette tilfælde skrives som:
$$ x \in [-100;\infty[ $$
Opsamling
Dette modul har behandlet regning med tal og bogstaver, hvilket er nødvendigt, når man skal arbejde med funktioner. Du har nu fået en forståelse for følgende:
- Intervaller af de reelle tal
- Regnearternes hierarki
- Regning med bogstaver
- Løsning af ligninger
- Uligheder og ulighedstegn