- 998 (Registered)
-
(0 Reviews)
Funktionsanalyse af andengradspolynomier
Med udgangspunkt i andengradspolynomier vil der i dette modul blive beskrevet de centrale trin i funktionsanalyse. Der vil blive gennemgået følgende:
- Definitions- og værdimængde (tilladte værdier af x og y)
- Nulpunkter (skæring med x-aksen) og fortegnsanalyse
- Ekstrema (toppunkter) og monotoniforhold
- Krumningsforhold
- Funktionsanalyse af andengradspolynomium
Funktionsanalyse
En sammenhæng mellem to variabler x og y kaldes en funktion, hvis der for én værdi af den ene variabel x kun findes én værdi af den anden variabel y. En parabel er dermed grafen for en funktion, hvor en cirkel ikke kan være grafen for en funktion, da der findes to værdier af y for én værdi af x (en lodret linje kan skære en cirkel to steder).
Definitions- og værdimængde
Ved funktioner kaldes den ene variable den uafhængige variabel (typisk x), og den anden variabel kaldes den afhængige variabel (typisk y). For en funktion f omtales de tilladte værdier af den uafhængige variabel som definitionsmængden ($Dm(f)$), og de mulige værdier af den afhængige variabel kaldes værdimængden ($Vm(f)$).
Nulpunkter og fortegnsvariation
Skæringspunktet mellem x-aksen og grafen for en funktion kaldes for nulpunkter (eller rødder). For en funktion med en sammenhængende graf kan fortegnet af funktionsværdien kun ændre sig ved nulpunkterne (f.eks. andengradspolynomier).
Ekstrema og monotoniforhold
Et maksimums- eller minimumspunkt for en funktion er punkter, hvor nabopunkterne på graferne har henholdsvis mindre eller større funktionsværdier. Fællesbetegnelsen for maksimum og minimum er ekstremum (ekstrema i flertal). Et maksimum kaldes globalt, hvis alle andre funktionsværdier er mindre. Hvis dette ikke er tilfældet, kaldes det et lokalt maksimum. Tilsvarende definitioner gælder for et lokalt og globalt minimum.
Monotoniforhold for en funktion er en beskrivelse af om funktionen er voksende, konstant eller aftagende for forskellige områder af definitionsmængden. For en glat graf (som parabler) vil en funktion kun kunne gå fra voksende til aftagende ved et ekstremum.
Krumningsforhold
En parabel, hvor benene peger op siges at være konveks eller at have en positiv krumning. Omvendt siges parablen at være konkav eller at have en negativ krumning, hvis grenene peger nedad.
Funktionsanalyse af andengradspolynomium
En tøjvirksomhed har fundet følgende sammenhæng mellem afsætning $x$ (hvor mange stykker tøj de sælger) og omsætning $y$ (hvor mange kroner der kommer i kassen):
$$ f(x) = -0,014x^2 + 1221,45x $$
I det følgende vil blive lavet funktionsanalyse for dette andengradspolynomium og dermed få et overblik over hvilke forhold, der gør sig gældende for sammenhængen mellem afsætning og pris.
For at kunne gennemføre analysen får vi brug for at kende nogle forskellige egenskaber for polynomiet. Vi noterer, at konstanterne $a$, $b$ og $c$ har følgende værdier:
$$ a=-0,014 $$
$$ b=1221,45 $$
$$ c=0 $$
Siden $a$ er negativ, ved man, at parablens grene krummer nedad (konkav parabel). Toppunktet for parablen må dermed være et maksimumspunkt.
Nu kan diskriminanten $d$ bestemmes vha. formlen $d=b^2-4ac$:
$$ d=1221,45^2-4 \cdot (-0,014) \cdot 0 = 1491940,10 $$
Nu kan nulpunkterne for polynomiet bestemmes vha. nulpunktsformlerne:
$$ x = \frac{-1221,45 \pm \sqrt{1491940,10}}{2 \cdot (-0,014)} = \begin{cases}
0 \\
87.246 \\
\end{cases} $$
Tilsvarende kan koordinaterne for toppunktet ligeledes bestemmes vha. toppunktsformlerne:
$$ x = \frac{-1221,45 }{2 \cdot (-0,014)}=43.623 $$
$$ y = \frac{-1491940,10}{4 \cdot (-0,014)} =26.641.788 $$
Definitions- og værdimængde
Virksomheden har mulighed for at stoppe yderligere produktion og salg af tøj hvis virksomheden mister penge (har negativ omsætning). Virksomheden kan desuden ikke have en negativ afsætning ($x>0$). Det vil sige de tilladte $x$-værdier er fra $0$ og frem til de største nulpunkt:
$$ Dm(f)=[0;87.246] $$
De mulige værdier af $y$ går fra $0$ og op til $y$-koordinaten for toppunktet:
$$ Vm(f)=[0;26.641.788]$$
Man kan konkludere, at virksomheden afsætter mellem 0 og 87.246 stykker tøj og virksomheden har en omsætning mellem 0 kr. og 26.641.788 kr.
Nulpunkter og fortegnsvariation
Nulpunkterne for omsætningsfunktionen var 0 og 87.246. Det vil sige at virksomheden har en omsætning på præcis 0 kr. hvis virksomheden sælger 0 stykker tøj og hvis virksomheden sælger 87.246 stykker tøj.
Ekstrema og monotoniforhold
Parablen har et maksimumspunkt med koordinaterne $(43.623,26.641.788)$. Det vil sige virksomheden får den størst mulige omsætning når den sælger 43.623 stykker tøj og den størst mulige omsætning er 26.641.788 kr.
Krumningsforhold
Parablen har en negativ krumning (konkav parabel) da $a$ er negativ.
ØVELSE: FUNKTIONSANALYSE AF POLYNOMIER
Opsamling
Dette modul har givet en introduktion til emnet andengradspolynomier. Modulet har givet en forståelse for følgende:
- Hvad er et andengradspolynomium?
- Sammenhæng mellem forskrift og graf for et andengradspolynomium
- Funktionsanalyse
Opgaver
OPGAVE: Opsamling Andengradspolynomier