- 998 (Registered)
-
(0 Reviews)
Introduktion til statistik
Store datasæt (observationssæt) kan uden nogen form for behandling være uoverskuelige og svære at fortolke. Beskrivende statistik handler om at skabe overblik over datasæt med nogle simple statistiske deskriptorer (talværdier) eller diagrammer. Som eksempel kan vi se på følgende liste over karaktererne på eleverne i en klasse:
7, 2, 0, 12, 7, 4, 10, 7, -3, 2, 7, 10, 2, 7, 12, 7, 7, 4, 7, 10, 0, 12, 4, 7, 10, 0, 4, 7, 7, 7
Det er mere overskueligt, hvad eleverne har fået i karakter, når vi opsummerer listen med nogle statistiske deskriptorer:
Middel = 6,0
Spredning = 3,9
Andel af eleverne der ikke er bestået (karakter < 02) = 13%
Dette modul introducerer beskrivende statistik ved at definere de mest anvendte statistiske deskriptorer:
- Positionsmål – herunder typetal, middelværdi og median
- Spredningsmål – herunder variationsbredde, spredning og kvartilbredde
Positionsmål – repræsentativ værdi for et observationssæt
Et positionsmål er en statistisk deskriptorer, der angiver positionen af værdierne i et observationssæt. De mest almindelige positionsmål, når man vil angive én repræsentativ værdi for et observationssæt, er typetal, median og middelværdi.
Typetal
Typetal angiver den oftest forekommende værdi i et observationssæt. For listen med karakterer vil typetallet være 7.
Median
Medianen angiver værdien af den midterste observation i observationssættet, når man stiller observationerne i rækkefølge efter voksende værdier (ordnet observationssæt). For karaktererne vil medianen være 7:
-3, 0, 0, 0, 2, 2, 2, 4, 4, 4, 4, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 10, 10, 10, 10, 12, 12, 12
Hvis man har et lige antal observationer, hvor de to midterste tal har forskellige værdier, er medianen værdien midt mellem de to værdier.
Middelværdi
Det positionsmål der oftest anvendes er middelværdien μ (også kaldet gennemsnittet). Dette er defineret som summen af værdierne af alle observationer xi divideret med antallet af observationer n:
$$ \mu = \frac{\sum{x_i}}{n} $$
“∑” er det græske bogstav sigma, hvilket indenfor matematik bliver brugt som notation for en sum.
For karaktererne vil middelværdien af de 30 elevers karakterer blive 6,0:
$$ \mu = \frac{-3+0+0+0+2+ … + 10 +12+12+12}{30} = 6,0 $$
Positionsmål – fraktiler og kvartiler
Fraktiler er positionsmål, der angiver en værdi i et observationssæt, som en vis andel af alle observationer er mindre end:
Fraktil
α-fraktilen angiver den mindste værdi, som en andel på α af alle observationer er mindre end eller lig med.
For eksempel vil 90%-fraktilen for karaktererne være 10, da 90% af alle elever har fået en karakter, der er mindre end eller lig med 10.
Medianen er som sagt defineret som den midterste værdi af alle observationerne i et observationssæt. 1. kvartil er defineret som medianen af den nederste halvdel af et observationssæt. 3. kvartil er defineret som median af den øverste halvdel af et observationssæt. Der vil som regel være følgende overensstemmelse mellem fraktiler og kvartiler:
1. kvartil (nedre kvartil) ∼ 25%-fraktil
2. kvartil (medianen) ∼ 50%-fraktil
3. kvartil (øvre kvartil) ∼ 75%-fraktil
En samlet betegnelse for 1. kvartil, medianen og 3. kvartil er kvartilsættet.
ØVELSE: FRAKTILER OG KVARTILER
Spredningsmål
Et spredningsmål er en statistisk deskriptorer, der fortæller, hvor meget værdierne i et observationssæt varierer. De mest almindelige spredningsmål er variationsbredde, kvartilbredde og spredningen.
Variationsbredde
Variationsbredden angiver forskellen mellem den største og den mindste værdi i et observationssæt. For et observationssæt med karakterer, hvor hele skalaen bliver brugt vil variationsbredden være 15:
$$ Variationsbredde = 12 – (-3) = 15 $$
Kvartilbredde
Kvartilbredden angiver forskellen mellem 1. kvartil (Q1) og 3. kvartil (Q3):
$$ Kvartilbredde = Q_3 – Q_1 $$
Kvartilbredden svarer til længden af et interval som 50% af alle observationer ligger indenfor. For karaktererne for de 30 elever har 1. kvartil en værdi på 4 og 3. kvartil har en værdi på 7. Kvartilbredden vil dermed være 3:
$$ Kvartilbredde = 7 – 4 = 3 $$
Det vil sige, at omkring 50% af elevernes karakterer ligger indenfor et interval med en bredde på 3 karakterpoints.
Spredning
Det mest almindelige mål for variationen i et observationssæt er spredningen σ (også kaldet standardafvigelsen), der angiver, hvor meget værdierne af observationerne xi typisk afviger fra middelværdien μ:
$$ \sigma = \sqrt{\frac{\sum{(x_i – \mu)^2}}{n}} $$
Spredningen er et godt mål for, hvor meget alle værdier i observationssættet i gennemsnit afviger fra middelværdien. For karakteren af eleverne vil spredningen være 3,9.
Opsamling
Dette modul har givet en introduktion til emnet beskrivende statistik. Ved gennemgang af dette modul har du fået en forståelse for:
- Statistiske deskriptorer
- Positionsmål – herunder typetal, middelværdi og median
- Spredningsmål – herunder variationsbredde, kvartilbredde og spredning
TEST: INTRODUKTION TIL STATISTIK
Opgaver
OPGAVE: Introduktion til statistik