Bestemmelse af en potensfunktion ud fra to punkter

Ligesom for lineære funktioner findes der for potensfunktioner formler, der kan bestemme forskriften, når man kender to punkter som grafen for potensfunktionen går igennem. Overskrifterne for det der bliver gennemgået i modulet er:

• Formler til bestemmelse af forskriften for en potensfunktion
• Bevis for formler til bestemmelse af forskrift

Formler til bestemmelse af forskriften for en potensfunktion

For en potensfunktion, hvor grafen går gennem to punkter, findes der følgende formler til at bestemme konstanterne a og b i forskriften:

Bestemmelse af forskriften for en potensfunktion

For den potensfunktion, hvor grafen går gennem punkterne $(x_1,y_1)$ og $(x_2,y_2)$, kan konstanterne a og b i forskriften $y=bx^a$ bestemmes med følgende formler:

$$ a = \frac{log(y_2)-log(y_1)}{log(x_2)-log(x_1)} $$

$$ b = \frac{y_1}{x_1^{a} } $$

For eksempel kan man finde forskriften for den potensfunktion, hvor grafen går gennem punkterne (2,7) og (4,3):

$$ a = \frac{log(3)-log(7)}{log(4)-log(2)} = -1,222 $$

$$ b = \frac{7}{2^{-1,222} } = 16,333 $$

Dermed er forskriften for potensfunktionen $y = 16,333 \cdot x^{-1,222}$.

ØVELSE: BESTEMMELSE AF FORSKRIFTEN FOR EN POTENSFUNKTION

Bevis for formlerne

Beviset for formlerne tager udgangspunkt i, at $y=bx^a$, og at grafen for en potensfunktion går gennem $(x_1,y_1)$ og $(x_2,y_2)$. Dette kan formuleres matematisk som:

$$ y_1 = b \cdot x_1^{a} $$

$$ y_2 = b \cdot x_2^{a} $$

Fra nu af går beviset ud på at isolere a og b i de to ligninger (løse to ligninger med to ubekendte). I første trin divideres den ene ligning med den anden ligning (højre side med divideres med højre side, og venstre side divideres med venstre side). Herved forsvinder b, og man kan følgende udlede formlen for a ved at isolere a:

$$ \frac{y_2}{y_1} = \frac{b \cdot x_2^{a}}{b \cdot x_1^{a}} $$

$$ \frac{y_2}{y_1} = \frac{x_2^{a}}{x_1^{a}} $$

$$ \frac{y_2}{y_1} = (\frac{x_2}{x_1})^{a} $$

$$ log(\frac{y_2}{y_1}) = log((\frac{x_2}{x_1})^{a}) $$

$$ log(\frac{y_2}{y_1}) = a \cdot log(\frac{x_2}{x_1}) $$

$$ a = \frac{log(\frac{y_2}{y_1})}{log(\frac{x_2}{x_1})}$$

$$ a = \frac{log(y_2)-log(y_1)}{log(x_2)-log(x_1)}$$

Dermed er formlen for a bevist. Formlen for b bevises ved at isolere b i ligningen $y_1=bx_1^a$:

$$ y_1 = b \cdot x_1^{a} $$

$$ b =\frac{y_1}{x_1^{a}} $$

Dermed er det ønskede bevist.

ØVELSE: BEVISET FOR FORMLERNE TIL BESTEMMELSE AF a OG b

Opsamling

Dette modul har givet en introduktion til bestemmelse af forskriften for en potensfunktion. Modulet har givet en forståelse for følgende:

• Formler til bestemmelse af forskriften for en potensfunktion
• Beviset for formlerne

TEST: BESTEMMELSE AF POTENSFUNKTION UD FRA TO PUNKTER

Opgaver

OPGAVE: Bestemmelse af potensfunktioner ud fra to punkter

Eksterne links

• Potensfunktion
• Bevis for formlerne