- 998 (Registered)
-
(0 Reviews)
Logaritmer
Dette modul introducerer logaritmer – de omvendte funktioner af eksponentialfunktioner. Logaritmer er bl.a. vigtige, når eksponentialligninger skal løses. Her vil der blive introduceret det mest grundlæggende inden for emnet logaritmer:
- Definition af logaritmer
- Grafen for logaritmer
- 10-talslogaritmen
- Den naturlige logaritme
- Regneregler for logaritmer
Logaritmer
En logaritme er den omvendte funktion til en eksponentialfunktion af typen $y = a^x$ (x som funktion af y). Dette kan formuleres som:
Logaritme
Logaritmen med grundtallet a opfylder følgende:
$$ log_a(a^x) = a^{log_a(x)} = x $$
Grafen for en logaritmefunktion vil være et spejlbillede i linjen med forskriften $y=x$ af grafen for en eksponentialfunktion. For eksempel vil grafen for 10-talslogaritmen (logaritme med grundtallet 10) være et spejlbillede af grafen for eksponentialfunktionen $y = 10^x$.
Den naturlige logaritme
I almindelighed er 10 det mest anvendte grundtal for logaritmer i overensstemmelse med traditionen for at bruge 10-talssystemet. En logaritme der har en særlig matematisk betydning er den naturlige logaritme, der benytter grundtallet e (Eulers tal):
Eulers tal
Eulers tal e er defineret som følgende serie:
$$ e = 1+\frac{1}{1} + \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3} + … = 2,71828… $$
Den naturlige eksponentialfunktion har forskriften $y = e^x$ og logaritmen med grundtallet e kaldes som sagt den naturlige logaritme og har notationen $ln(x)$. Den naturlige logaritme og eksponentialfunktion bliver bl.a. anvendt inden for området differentialregning (beregning af vækst af funktioner og hældningen af tangenter). En særlig egenskab ved grafen for den naturlige eksponentialfunktion og den naturlige logaritme er, at hældningen er 1 af tangenterne, der snitter graferne, der hvor de skærer henholdsvis y– og x-aksen (se Figur 2).
ØVELSE: DEN NATURLIGE LOGARITME
Regneregler for logaritmer
Der er følgende tre vigtige regneregler for logaritmer:
Regneregler for logaritmer
For positive tal a og b, reelt tal x og en logaritme log med et hvilket som helst grundtal, gælder følgende regneregler:
- $$ log(a \cdot b) = log(a) + log(b) $$
- $$ log(a/b) = log(a) – log(b) $$
- $$ log(a^{x}) = x \cdot log(a) $$
Følgende simple taleksempler demonstrerer anvendelse af hver af de tre regler:
$$ log(10 \cdot 100) = log(10)+log(100) = 1 + 2 = 3 $$
$$ log(10/100) = log(10)-log(100)=1-2 = -1 $$
$$ log(1000^2) = 2 \cdot log(1000) = 2 \cdot 3 = 6 $$
Regneregel 3 er vigtig, når eksponentialligninger skal løses, da den er nøglen til, hvordan en eksponent bliver omdannet til en faktor. Dette kan demonstreres for følgende eksponentielle ligning:
$$ 100^x = 10000 $$
$$ log(100^x) = log(10000) $$
$$ x \cdot log(100) = 4 $$
$$ x \cdot 2 = 4 $$
$$ x = 4/2 $$
$$ x = 2 $$
Løsningen er dermed 2. Ved at tage logaritmen på begge sider bliver potensen $100^x$ transformeret til det simplere udtryk $x \cdot 2$, hvor x nemt kan isoleres ved at dividere med 2.
Opsamling
Dette modul har givet en introduktion til funktionstypen logaritmer. Modulet har givet en forståelse for følgende:
- Hvad er logaritmer?
- 10-talslogaritmen og den naturlige logaritme
- Regneregler for logaritmer