Opgaver i Pythagoras’ Sætning

Fag: Matematik C

Opgave 1: Pythagoras i praksis

Pythagoras’ sætning siger, at i en retvinklet trekant er summen af kateternes kvadrater lig med hypotenusens kvadrat: $$a^2 + b^2 = c^2$$ Hvor $a$ og $b$ er de korte sider (kateter), og $c$ er den lange side over for den rette vinkel (hypotenusen).

  • Opgave a: En stige på $5 \ \text{meter}$ lænes op ad en lodret mur. Stigens fod placeres $3 , \text{meter}$ fra muren. Hvor højt op ad muren når stigen?
  • Opgave b: En tømrer skal bygge en tagkonstruktion. Han har to bjælker (kateter) på henholdsvis $6 \ \text{meter}$ og $8 \ \text{meter}$, der mødes i en ret vinkel. Hvor lang skal den skrå bjælke (hypotenusen) være for at forbinde de to ender?
  • Opgave c: En murer vil tjekke, om et hjørne er præcis $90^\circ$. Han måler de to sider i hjørnet til at være $60 \ \text{cm}$ og $80 \ \text{cm}$, og afstanden mellem endepunkterne (diagonalen) til at være $100 \ \text{cm}$. Vis ved beregning, at hjørnet er retvinklet.

Opgave 2: Afstanden mellem to punkter

I et koordinatsystem kan vi beregne afstanden $d$ mellem to punkter $P_1(x_1, y_1)$ og $P_2(x_2, y_2)$ ved at bruge afstandsformlen, som i virkeligheden er Pythagoras sat ind i et koordinatsystem: $$d = \sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2}$$

  • Opgave a: Find afstanden mellem punkterne $A(2, 3)$ og $B(10, 9)$.
  • Opgave b: En drone flyver i en lige linje fra punktet $P(-4, -2)$ til punktet $Q(5, 10)$. Hvor lang en distance har dronen fløjet?
  • Opgave c: Redegør for sammenhængen mellem afstandsformlen og Pythagoras’ sætning. Tegn eventuelt en skitse af to punkter og vis, hvordan forskellen i x-værdier og y-værdier danner kateterne i en retvinklet trekant.

Opgave 3: Geometrisk analyse i planen

I denne opgave skal du kombinere din viden om afstande til at analysere en geometrisk figur.

Vi betragter tre punkter i et koordinatsystem: $A(-2, 1)$, $B(4, 5)$ og $C(0, 11)$.

  • Opgave a: Beregn længden af alle tre sider i trekant $ABC$ (altså afstandene $|AB|$, $|BC|$ og $|AC|$).
  • Opgave b: Brug de fundne sidelængder til at undersøge, om trekant $ABC$ er retvinklet. (Hint: Tjek om $a^2 + b^2 = c^2$ gælder for de to korteste og den længste side).
  • Opgave c: En cirkelformet radarstation er placeret i punktet $(2, 3)$ og har en rækkevidde på $10$ enheder. Vil et objekt placeret i punktet $(8, 11)$ kunne ses på radaren? Opstil en beregning, der underbygger dit svar, og forklar hvordan afstandsformlen kan bruges til at definere alle punkter på en cirkelperiferi.