Opgaver i Geometri

Fag: Matematik C

Emne: Geometri

Opgave 1: Karakteren 02

Emne: Pythagoras og omkreds

En retvinklet trekant har de to korte sider (kateter) længderne $a = 5$ cm og $b = 12$ cm.

  • Opgave a: Beregn længden af den lange side (hypotenusen $c$) ved hjælp af Pythagoras: $a^2 + b^2 = c^2$.
  • Opgave b: Beregn trekantens samlede omkreds.

Opgave 2: Karakteren 4

Emne: Cirkler og ensvinklede trekanter

  • Opgave a: En cirkel har en radius på $r = 4$ cm. Beregn både cirklens areal og dens omkreds.
  • Opgave b: To trekanter er ensvinklede. Den lille trekant har en grundlinje på 5 cm. Den store trekant har en tilsvarende grundlinje på 15 cm.
  • Bestem skalafaktoren $k$ (forholdet mellem siderne).
  • Hvis en anden side i den lille trekant er 4 cm, hvor lang er den tilsvarende side så i den store trekant?

Opgave 3: Karakteren 7

Emne: Rumfang af cylindre og sammensatte figurer

En sodavandsdåse har form som en cylinder. Den har en højde på $h = 12$ cm og en diameter på $d = 6,4$ cm.

  • Opgave a: Beregn dåsens rumfang.
  • Opgave b: En anden figur består af et rektangel med en halvcirkel ovenpå. Rektanglet er 2 meter bredt og 3 meter højt. Beregn det samlede areal af figuren.

Opgave 4: Karakteren 10

Emne: Skalering af areal og rumfang ($k^2$ og $k^3$)

Du har to kasser, der er ligedannede (de har samme form, men forskellig størrelse). Skalafaktoren mellem den lille og den store kasse er $k = 3$.

  • Opgave a: Hvis overfladearealet af den lille kasse er 100 cm², hvad er overfladearealet af den store kasse så?
  • Opgave b: Hvis rumfanget af den lille kasse er 50 cm³, hvad er rumfanget af den store kasse så?
  • Opgave c: Forklar med egne ord, hvorfor arealet vokser hurtigere end længden, og hvorfor rumfanget vokser endnu hurtigere, når man forstørrer en figur.

Opgave 5: Karakteren 12

Emne: Teoretisk bevis og matematisk modellering

  • Opgave a: Gennemfør et geometrisk bevis for Pythagoras’ læresætning ($a^2 + b^2 = c^2$). Du kan f.eks. bruge metoden med et stort kvadrat, der indeholder fire ens retvinklede trekanter og et mindre kvadrat i midten.
  • Opgave b: Du har 40 meter hegn og skal indhegne et rektangulært stykke jord.
  • Hvis bredden er $x$, opstil da en formel for arealet.
  • Hvilke mål (længde og bredde) skal rektanglet have for at give det største mulige areal? (Vis at det er et kvadrat).
  • Opgave c: Redegør for sammenhængen mellem enheders dimension (cm, cm², cm³) og de geometriske beregninger, vi foretager.