Opgaver i Funktionsanalyse af Andengradspolynomier
Fag: Matematik C
Emne: Andengradspolynomier
Opgave 1: Nulpunkter og ekstrema
En funktion er givet ved forskriften: $$f(x) = x^2 – 4x + 3$$
- Opgave a: Beregn diskriminanten $d$ og benyt nulpunktsformlen ($x = \frac{-b \pm \sqrt{d}}{2a}$) til at finde grafens skæringspunkter med x-aksen.
- Opgave b: Bestem koordinatsættet til parablens toppunkt $(x_T, y_T)$ ved hjælp af toppunktsformlerne ($x_T = \frac{-b}{2a}$ og $y_T = \frac{-d}{4a}$).
- Opgave c: Find koordinatsættet til skæringspunktet med y-aksen (vink: sæt $x=0$).
Opgave 2: Monotoniforhold og Værdimængde
En funktion er givet ved: $$g(x) = -2x^2 + 8x – 5$$
- Opgave a: Beregn x-koordinaten til toppunktet, $x_T$.
- Opgave b: Argumentér for funktionens monotoniforhold ved at se på fortegnet for $a$ (sur/glad parabel) og placeringen af $x_T$.
- I hvilket interval er funktionen voksende?
- I hvilket interval er funktionen aftagende?
- Opgave c: Bestem funktionens værdimængde ($Vm(g)$). Du skal først beregne $y_T$, og derefter vurdere om dette er grafens højeste eller laveste værdi.
Opgave 3: Optimering og Fortegn
En virksomheds overskud (i tusinde kr.) afhænger af prisen på varen og kan beskrives ved funktionen: $$O(x) = -x^2 + 60x – 500$$ Hvor $x$ er prisen på varen i kr.
- Opgave a: Find de priser $x$, hvor overskuddet er præcis 0 kr. (find rødderne). Mellem hvilke to priser skal varen ligge, for at virksomheden har overskud (dvs. $O(x) > 0$)?
- Opgave b: Bestem den pris $x$, der giver det størst mulige overskud, og beregn hvor stort dette maksimale overskud er (benyt toppunktsformlerne).
- Opgave c: Argumentér geometrisk for, hvorfor vi ved, at den fundne værdi i opgave b er et maksimum og ikke et minimum, uden at differentiere funktionen.