Opgaver i Andengradspolynomier

Fag: Matematik C

Emne: Andengradspolynomier

Opgave 1: Karakteren 02

Emne: Identifikation og form på grafen

Du har funktionen $f(x) = 2x^2 – 4x + 5$.

  • Opgave a: Bestem værdierne for $a$, $b$ og $c$.
  • Opgave b: Vender parablens grene opad eller nedad? Begrund dit svar ved at kigge på $a$.
  • Opgave c: Hvad er koordinatsættet til parablens skæringspunkt med y-aksen?

Opgave 2: Karakteren 4

Emne: Diskriminanten og antal rødder

Du har tre forskellige andengradspolynomier:

  • $g(x) = x^2 – 4x + 4$

  • $h(x) = 2x^2 – 3x + 5$

  • $i(x) = -x^2 + 5x – 4$

  • Opgave a: Beregn diskriminanten $d = b^2 – 4ac$ for hver af de tre funktioner.

  • Opgave b: Afgør for hver funktion, om den har 0, 1 eller 2 rødder (skæringer med x-aksen) baseret på diskriminanten.

Opgave 3: Karakteren 7

Emne: Rødder og Toppunkt

Du har funktionen $f(x) = x^2 – 6x + 5$.

  • Opgave a: Beregn diskriminanten $d$.
  • Opgave b: Beregn funktionens rødder.
  • Opgave c: Beregn koordinatsættet til parablens toppunkt.

Opgave 4: Karakteren 10

Emne: Modellering og faktorisering

En bold kastes gennem luften. Boldens højde $h$ (i meter) som funktion af den vandrette afstand $x$ (i meter) kan beskrives ved: $$h(x) = -0,1x^2 + x + 2$$

  • Opgave a: Hvor højt er bolden over jorden i det øjeblik, den bliver kastet?
  • Opgave b: Hvad er boldens maksimale højde?
  • Opgave c: Hvor langt flyver bolden vandret, før den rammer jorden?
  • Opgave d: Skriv polynomiet på formen $f(x) = a(x – r_1)(x – r_2)$, hvor $r_1$ og $r_2$ er rødderne.

Opgave 5: Karakteren 12

Emne: Teoretisk bevis og koefficienternes betydning

  • Opgave a: Gennemfør beviset for formlen for toppunktets x-koordinat ($x_T = \frac{-b}{2a}$). Du kan enten bruge symmetri (midt imellem rødderne) eller differentialregning (hvis I har haft om det).
  • Opgave b: Forklar præcis, hvad betydningen af koefficienten $b$ er for grafens udseende. (Hint: Det har noget at gøre med tangenthældningen i skæringspunktet med y-aksen).
  • Opgave c: Redegør for, hvorfor der ingen rødder er, når $d < 0$. Hvordan ser det ud i formlen for rødderne, og hvorfor må man ikke det i matematik?