Opgaver i Eksponentielle Funktioner
Fag: Matematik C
Emne: Eksponentielle Funktioner
Opgave 1: Karakteren 02
Emne: Identifikation og simpel beregning
En bakteriekultur udvikler sig efter modellen: $f(x) = 200 \cdot 1,15^x$, hvor $f(x)$ er antallet af bakterier, og $x$ er antal timer.
- Opgave a: Hvad er begyndelsesværdien $b$?
- Opgave b: Hvad er fremskrivningsfaktoren $a$?
- Opgave c: Beregn hvor mange bakterier der er efter 5 timer (brug lommeregner).
Opgave 2: Karakteren 4
Emne: Procentvis vækst ($r$) og fremskrivningsfaktor ($a$)
- Opgave a: Hvis en værdi stiger med 12% hver termin, hvad er så fremskrivningsfaktoren $a$?
- Opgave b: Hvis en funktion har forskriften $f(x) = 500 \cdot 0,85^x$, falder eller stiger værdien så? Med hvor mange procent falder/stiger den pr. termin?
- Opgave c: En kapital på 1.000 kr. står på en konto til 3% i rente pr. år. Opstil en forskrift for kapitalens udvikling.
Opgave 3: Karakteren 7
Emne: To-punktsformlen for eksponentielle funktioner
Grafen for en eksponentiel funktion går gennem punkterne $(2, 100)$ og $(4, 144)$.
- Opgave a: Bestem fremskrivningsfaktoren $a$ ved beregning.
- Opgave b: Bestem begyndelsesværdien $b$ ved beregning.
- Opgave c: Skriv den samlede forskrift for funktionen.
Opgave 4: Karakteren 10
Emne: Fordoblingskonstant og logaritmer
Værdien af et sjældent samlerobjekt stiger med 8% om året. Fra start er det 5.000 kr. værd.
- Opgave a: Beregn fordoblingskonstanten $T_2$
- Opgave b: Hvad fortæller tallet $T_2$ os i denne sammenhæng?
- Opgave c: Hvornår er værdien af samlerobjektet steget til 15.000 kr.?
Opgave 5: Karakteren 12
Emne: Teoretisk bevis og vækstegenskaber
- Opgave a: Gennemfør beviset for formlen for $a$ ud fra to punkter $(x_1, y_1)$ og $(x_2, y_2)$. Forklar hvert skridt i udledningen (division af de to ligninger, potensregneregler osv.).
- Opgave b: Forklar den fundamentale forskel på væksten i en lineær funktion og en eksponentiel funktion. Brug begrebet relativ vækst.