Opgaver i Fordoblings- og Halveringskonstanter
Fag: Matematik C
Opgave 1: Formler
For en eksponentiel funktion $f(x) = b \cdot a^x$ kan man beregne, hvor meget $x$ skal vokse, før $y$-værdien er blevet dobbelt så stor (fordoblingskonstanten $T_2$) eller halvt så stor (halveringskonstanten $T_{1/2}$).
Formlerne er: $$T_2 = \frac{\log(2)}{\log(a)} \quad \text{og} \quad T_{1/2} = \frac{\log(0,5)}{\log(a)}$$
Vi har to funktioner: $f(x) = 20 \cdot 1,15^x$ og $g(x) = 100 \cdot 0,80^x$.
- Opgave a: Beregn fordoblingskonstanten $T_2$ for funktionen $f(x)$.
- Opgave b: Beregn halveringskonstanten $T_{1/2}$ for funktionen $g(x)$.
- Opgave c: Forklar med ord, hvad resultatet fra opgave b fortæller om udviklingen i funktionen $g(x)$, når $x$ stiger med den fundne værdi.
Opgave 2: Anvendelse
Inden for fysik og kemi bruges halveringskonstanten ofte til at beskrive radioaktivt henfald eller koncentrationen af et stof i en væske.
- Opgave a: Et radioaktivt stof har en halveringstid på 8 dage. Find fremskrivningsfaktoren $a$ for dette stof pr. døgn.
- Opgave b: En kapital på en højrentekonto fordobles på 12 år. Bestem den årlige vækstrate $r$ i procent for denne konto.
- Opgave c: Hvis man starter med 500 gram af det radioaktive stof fra opgave a, hvor meget er der så tilbage efter 24 dage?
Opgave 3: Forståelse
En af de vigtigste egenskaber ved eksponentielle funktioner er, at fordoblings- og halveringskonstanten er den samme uanset, hvor på grafen man starter.
- Opgave a: Bevis eller forklar ved hjælp af logaritmeregneregler, hvorfor begyndelsesværdien $b$ ikke optræder i formlen for $T_2$. Hvilken betydning har dette for en bakteriekultur, der vokser eksponentielt?
- Opgave b: En funktion har en fordoblingskonstant på $T_2 = 5$. Hvis $f(0) = 10$, hvad er så værdien af $f(15)$?
- Opgave c: To funktioner har henholdsvis fremskrivningsfaktorerne $a_1 = 1,05$ og $a_2 = 1,10$. Hvor mange gange større er fordoblingskonstanten for den første funktion i forhold til den anden?