Opgaver i Retvinklede Trekanter og Trigonometri
Fag: Matematik C
Opgave 1: Beregning af sidelængde
I en retvinklet trekant $ABC$, hvor vinkel $C$ er den rette vinkel ($90^\circ$), kender vi vinkel $A$ og hypotenusen $c$. Der gælder vinkel $A = 35^\circ$ og hypotenusen $c = 12 \text{ cm}$.
- Opgave a: Identificer, hvilken side ($a$ eller $b$) der er den modstående katete til vinkel $A$.
- Opgave b: Beregn længden af siden $a$ ved hjælp af sinus-formlen.
- Opgave b: Beregn længden af siden $b$ ved hjælp af cosinus-formlen.
Opgave 2: Design af en kørestolsrampe
En tømrer skal bygge en kørestolsrampe. Ifølge reglerne må en rampe ikke være for stejl. Rampen skal have en højdeforskel på $0{,}5 \text{ meter}$ (modstående katete), og den vandrette afstand langs jorden er planlagt til at være $6 \text{ meter}$ (hosliggende katete).
- Opgave a: Tegn en skitse af situationen og indsæt de kendte mål.
- Opgave b: Beregn rampens hældningsvinkel $v$ i forhold til vandret jord ved hjælp af tangens-formlen: $$\tan(v) = \frac{\text{modstående katete}}{\text{hosliggende katete}}$$
- Opgave c: Hvor lang bliver selve rampen (hypotenusen)? Du må frit vælge, om du vil bruge Pythagoras eller en trigonometrisk formel (sinus eller cosinus) til beregningen.
Opgave 3: Landmåling og indirekte højdemåling
En HTX-elev vil bestemme højden af skolens telemast ved hjælp af et klinometer (vinkelmåler). Eleven står i en vandret afstand på $40 \text{ meter}$ fra mastens fod. Fra elevens øjenhøjde, som er $1{,}75 \text{ meter}$ over jorden, måles vinklen til toppen af masten til at være $22^\circ$.
- Opgave a: Opstil en matematisk model for situationen. Beregn mastens samlede højde over jorden. (Husk at tage højde for elevens øjenhøjde i din konklusion).
- Opgave b: Hvis eleven går dobbelt så langt væk ($80 \text{ meter}$ fra masten), vil vinklen til toppen så blive halveret til $11^\circ$? Eftervis dit svar ved beregning og forklar, hvorfor sammenhængen mellem afstand og vinkel ikke er lineær.
- Opgave c: Redegør for, hvordan fejlmålinger i vinklen påvirker resultatet. Hvis eleven måler vinklen $1^\circ$ forkert (altså $23^\circ$ i stedet for $22^\circ$), hvor mange centimeter afviger den beregnede højde så fra den korrekte højde?