Opgaver i Toppunkt for et Andengradspolynomium
Fag: Matematik C
Opgave 1: Formler
Formål: At kunne anvende toppunktsformlen direkte ud fra koefficienterne.
Et andengradspolynomium er givet ved forskriften: $$f(x) = x^2 – 6x + 5$$
- Opgave a: Identificer koefficienterne $a$, $b$ og $c$, og beregn diskriminanten $d = b^2 – 4ac$.
- Opgave b: Bestem toppunktets x-koordinat ved hjælp af formlen $x_T = \frac{-b}{2a}$.
- Opgave c: Bestem toppunktets y-koordinat ved hjælp af formlen $y_T = \frac{-d}{4a}$.
Opgave 2: Symmetri
Formål: At kunne udnytte grafens symmetri og sammenhængen mellem rødder og toppunkt (alternativ metode).
Et andet andengradspolynomium er givet ved: $$g(x) = -2x^2 + 8x$$
- Opgave a: Løs ligningen $g(x) = 0$ for at finde parablens rødder (skæringspunkter med x-aksen).
- Opgave b: Argumentér for, at toppunktets x-koordinat ($x_T$) må ligge præcis midt imellem de to rødder, og beregn værdien.
- Opgave c: Beregn toppunktets y-koordinat ($y_T$) ved at indsætte den fundne x-værdi i forskriften for $g(x)$.
Opgave 3: Anvendelse og bestemmelse af Ekstremum
Formål: At forstå toppunktet som et globalt maksimum eller minimum i en praktisk kontekst.
En bold kastes op i luften. Boldens højde $h$ (målt i meter) som funktion af tiden $t$ (målt i sekunder) er givet ved: $$h(t) = -5t^2 + 10t + 2$$
- Opgave a: Forklar ud fra fortegnet på koefficienten $a$, om parablens toppunkt repræsenterer boldens laveste eller højeste punkt (minimum eller maksimum).
- Opgave b: Beregn koordinatsættet til toppunktet $(t_T, h_T)$.
- Opgave c: Hvad fortæller de to koordinater i toppunktet om boldens flyvetur? (Hvad repræsenterer x-værdien, og hvad repræsenterer y-værdien i virkeligheden?).