Opgaver i Skalarprodukt

Fag: Matematik C

Opgave 1: Skalarprodukt og ortogonalitet

Skalarproduktet (prikproduktet) af to vektorer $\vec{a} = \binom{a_1}{a_2}$ og $\vec{b} = \binom{b_1}{b_2}$ bestemmes ved: $$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2$$

Vi betragter vektorerne $\vec{a} = \binom{3}{2}$, $\vec{b} = \binom{-2}{3}$ og $\vec{c} = \binom{1}{4}$.

  • Opgave a: Beregn skalarprodukterne $\vec{a} \cdot \vec{c}$ og $\vec{a} \cdot \vec{b}$.
  • Opgave b: To vektorer kaldes ortogonale (vinkelrette), hvis deres skalarprodukt er nul ($\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$). Afgør, hvilket af de to vektorpar fra opgave a, der er ortogonale.
  • Opgave c: Givet vektoren $\vec{u} = \binom{k}{6}$ og $\vec{v} = \binom{3}{-2}$. Bestem tallet $k$, således at $\vec{u}$ og $\vec{v}$ er ortogonale.

Opgave 2: Vinkler og koordinatsystemets uafhængighed

Skalarproduktet kan også bestemmes ud fra vektorernes længder og vinklen $v$ imellem dem: $$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(v)$$

  • Opgave a: Vi har to vektorer $\vec{a} = \binom{4}{0}$ og $\vec{b} = \binom{3}{3}$. Beregn vinklen $v$ mellem dem ved at isolere $\cos(v)$ i formlen: $$\cos(v) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$$
  • Opgave b: To vektorer har længderne $|\vec{a}| = 5$ og $|\vec{b}| = 2$, og vinklen mellem dem er $60^\circ$. Beregn deres skalarprodukt uden brug af koordinater.
  • Opgave c: Skalarproduktet siges at være uafhængigt af koordinatsystemet. Redegør kort for, hvorfor resultatet af $\vec{a} \cdot \vec{b}$ er det samme, uanset hvordan vi placerer og roterer vores $x$- og $y$-akser (Hint: Tænk på formlen i opgave b).

Opgave 3: Projektion af vektor på vektor

Projektionen af vektor $\vec{a}$ på vektor $\vec{b}$ er en ny vektor $\vec{a}_{\vec{b}}$, der ligger i samme retning som $\vec{b}$. Vi betragter vektorerne $\vec{a} = \binom{6}{2}$ og $\vec{b} = \binom{4}{-3}$.

  • Opgave a: Beregn skalarproduktet $\vec{a} \cdot \vec{b}$ og kvadratet på længden af vektor $\vec{b}$ (altså $|\vec{b}|^2$).
  • Opgave b: Bestem koordinatsættet for projektionsvektoren $\vec{a}_{\vec{b}}$.