Opgaver i Opsparingsformlen (Annuitetsopsparing)
Fag: Matematik C
Opgave 1: Beregning af opsparingens værdi
Når man indbetaler et fast beløb (en ydelse) med jævne mellemrum til en fast rente, kaldes det en annuitetsopsparing. Formlen for værdien af opsparingen $A_n$ efter $n$ indbetalinger er: $$A_n = y \cdot \frac{(1+r)^n – 1}{r}$$ Hvor $A_n$ er det samlede beløb på kontoen efter sidste indbetaling, $y$ er den faste indbetaling (ydelsen), $r$ er renten pr. termin, og $n$ er antallet af indbetalinger.
En studerende beslutter sig for at spare op til en rejse. Han indbetaler 500 kr. hver måned på en konto, der giver 0,4% i rente pr. måned. Han foretager i alt 24 indbetalinger.
- Opgave a: Identificer værdierne for $y$, $r$ og $n$ ud fra teksten.
- Opgave b: Beregn, hvor meget den studerende har på sin konto umiddelbart efter den 24. indbetaling.
- Opgave c: Hvor meget har den studerende i alt selv indbetalt, og hvor meget har han fået i rente?
Opgave 2: Bestemmelse af den nødvendige ydelse
Man kan omskrive opsparingsformlen for at finde ud af, hvor meget man skal indbetale hver termin ($y$) for at nå et bestemt mål ($A_n$): $$y = A_n \cdot \frac{r}{(1+r)^n – 1}$$
En familie ønsker at spare 40.000 kr. op til en udbetaling på en bil om 3 år. De vil foretage en indbetaling hvert kvartal (dvs. 4 gange om året). Banken tilbyder en rente på 1,5% pr. kvartal.
- Opgave a: Hvor mange indbetalinger ($n$) skal familien foretage i alt over de 3 år?
- Opgave b: Beregn, hvor stort et beløb familien skal indbetale hvert kvartal for at nå målet på de 40.000 kr.
- Opgave c: Hvis renten pludselig faldt til 1,0% pr. kvartal, ville det faste beløb, familien skal indbetale, så blive større eller mindre? Begrund dit svar uden nødvendigvis at beregne det nye beløb.
Opgave 3: Bestemmelse af tid
I denne opgave skal vi finde ud af, hvor længe man skal spare op, hvilket kræver brug af logaritmer for at isolere $n$.
En teknisk iværksætter vil spare 100.000 kr. op til indkøb af en 3D-printer. Han indbetaler 3.000 kr. hver måned på en erhvervskonto, der giver 0,25% i rente pr. måned.
- Opgave a: Opstil ligningen for opsparingen og isoler $n$. Beregn derefter, hvor mange måneder der går, før han har mindst 100.000 kr. på kontoen.
- Opgave b: Iværksætteren får tilbudt en anden konto, hvor renten er dobbelt så høj (0,50% pr. måned). Vil det halvere det antal måneder, han skal spare op? Lav en beregning for at undersøge dette.
- Opgave c: Redegør for, hvad der sker med opsparingsformlen, hvis renten $r$ er meget tæt på 0. Hvilket simpelt udtryk ville man i så fald kunne bruge til at overslå opsparingens værdi, og hvorfor giver det mening rent logisk?