Opgaver i Logaritmer
Fag: Matematik C
Opgave 1: 10-talslogaritmen
10-talslogaritmen, $\log(x)$, er den funktion, der svarer på spørgsmålet: “Hvad skal jeg opløfte 10 i for at få $x$?”. Det betyder, at $\log(100) = 2$, fordi $10^2 = 100$.
- Opgave a: Beregn følgende værdier uden brug af lommeregner:
- $\log(10)$
- $\log(1000)$
- $\log(1)$
- Opgave b: Brug din lommeregner eller et it-værktøj til at finde $\log(500)$. Forklar ud fra resultatet, hvorfor det giver god mening, at værdien ligger mellem 2 og 3.
- Opgave c: Løs ligningen $10^x = 45$ ved at bruge logaritmen på begge sider.
Opgave 2: Den naturlige logaritme og lommeregneren
Udover 10-talslogaritmen findes den naturlige logaritme, $\ln(x)$, som har tallet $e \approx 2,718$ som grundtal. Inden for tekniske fag og naturvidenskab er $\ln$ ofte den vigtigste logaritme.
- Opgave a: Beregn værdierne $\ln(e)$ og $\ln(e^2)$ uden brug af hjælpemidler.
- Opgave b: Løs ligningen $e^x = 20$ ved at bruge den naturlige logaritme ($\ln$). Angiv resultatet med to decimaler.
- Opgave c: Sammenlign funktionerne $f(x) = \log(x)$ og $g(x) = \ln(x)$ ved at tegne dem i det samme koordinatsystem. Hvilket punkt går de begge igennem på $x$-aksen, og hvilken af de to vokser hurtigst?
Opgave 3: De tre logaritmeregneregler
Logaritmer har tre fundamentale regneregler, som gør det muligt at omskrive komplicerede udtryk. Regnereglerne gælder for både $\log$ og $\ln$:
- $\log(a \cdot b) = \log(a) + \log(b)$
- $\log(\frac{a}{b}) = \log(a) – \log(b)$
- $\log(a^x) = x \cdot \log(a)$
- Opgave a: Brug regnereglerne til at omskrive udtrykket $\log(\frac{100 \cdot x}{y})$ til en form, hvor der ikke længere optræder brøker eller multiplikation inde i logaritmen.
- Opgave b: Løs ligningen $500 \cdot 1,05^x = 1500$ ved at bruge logaritmeregneregel nr. 3. (Vis alle trin i din beregning).
- Opgave c: Redegør for, hvorfor man ikke kan tage logaritmen til et negativt tal (f.eks. $\log(-5)$). Inddrag i din forklaring, at logaritmen er den omvendte funktion af en eksponentialfunktion.