Opgaver i Gældsformlen (Annuitetslån)
Fag: Matematik C
Opgave 1: Beregning af lånets størrelse
Når man optager et lån, som betales tilbage med en fast ydelse hver termin, kaldes det et annuitetslån. Formlen for lånets hovedstol (det beløb man låner her og nu) $A_0$ er: $$A_0 = y \cdot \frac{1 – (1+r)^{-n}}{r}$$ Hvor $A_0$ er lånets størrelse på tidspunkt nul, $y$ er den faste ydelse pr. termin, $r$ er renten pr. termin, og $n$ er antallet af ydelser (terminer).
En person ønsker at købe en ny computer på afbetaling. Han kan afse 400 kr. om måneden i 24 måneder. Renten er 1,0% pr. måned.
- Opgave a: Identificer værdierne for $y$, $r$ og $n$ ud fra teksten.
- Opgave b: Beregn, hvor dyr en computer personen har råd til at købe (altså lånets størrelse $A_0$).
- Opgave c: Hvor meget kommer personen til at betale i alt for computeren over de 24 måneder, og hvor meget af dette beløb er renter?
Opgave 2: Bestemmelse af den faste ydelse
Hvis man kender det beløb, man vil låne ($A_0$), kan man omskrive gældsformlen for at finde ud af, hvor meget man skal betale pr. termin ($y$): $$y = A_0 \cdot \frac{r}{1 – (1+r)^{-n}}$$
En tekniker skal låne 150.000 kr. til en brugt varevogn. Lånet skal betales tilbage over 5 år med én betaling hvert kvartal (dvs. 4 gange om året). Renten er 2,0% pr. kvartal.
- Opgave a: Hvor mange ydelser ($n$) skal teknikeren betale i alt over de 5 år?
- Opgave b: Beregn den faste ydelse $y$, som teknikeren skal betale hvert kvartal.
- Opgave c: Hvis teknikeren i stedet valgte at betale lånet tilbage over 8 år, ville den kvartalsvise ydelse så blive større eller mindre? Hvad ville der ske med de samlede renteomkostninger? Begrund dit svar.
Opgave 3: Løbetid
For at finde ud af, hvor længe det tager at afvikle en gæld, skal man isolere $n$ i gældsformlen ved hjælp af logaritmer.
En virksomhed optager et lån på 500.000 kr. til nye maskiner. Renten er 0,75% pr. måned. Virksomheden beslutter at betale 10.000 kr. tilbage hver måned.
- Opgave a: Opstil ligningen for lånet og beregn, hvor mange måneder ($n$) det tager at betale lånet helt tilbage.
- Opgave b: I et annuitetslån går en del af ydelsen til renter, og resten går til at afdrage på gælden. Beregn, hvor meget af den første ydelse på 10.000 kr., der går til renter. Hvad sker der med renteandelen i den næste ydelse, når gælden er blevet lidt mindre?
- Opgave c: Der findes en matematisk grænse for, hvor lille ydelsen $y$ må være. Redegør for, hvad der sker, hvis virksomheden i denne opgave kun tilbød at betale 3.000 kr. om måneden. Kan lånet nogensinde blive betalt tilbage i det tilfælde?