Opgaver i Introduktion til Vektorer i Planen

Fag: Matematik C

Opgave 1: Grundlæggende vektorregning

En vektor i planen kan repræsenteres som en pil med en bestemt længde og retning, eller som et tal-par (koordinater). Vi betragter to vektorer: $$\vec{a} = \binom{4}{2} \quad \text{og} \quad \vec{b} = \binom{-1}{3}$$

  • Opgave a: Tegn vektorerne $\vec{a}$ og $\vec{b}$ som pile i et koordinatsystem, hvor de begge starter i origo $(0,0)$.
  • Opgave b: Beregn koordinaterne til sumvektoren $\vec{s} = \vec{a} + \vec{b}$ og differensvektoren $\vec{d} = \vec{a} – \vec{b}$.
  • Opgave c: Beregn koordinaterne til vektoren $3 \cdot \vec{a}$ (multiplikation med tal).
  • Opgave d: Hvad kendetegner en nulvektor $\vec{0}$? Opskriv dens koordinater og forklar, hvad der sker med en vilkårlig vektor $\vec{v}$, hvis man lægger nulvektoren til den.

Opgave 2: Stedvektorer, længde og enhedsvektorer

Vektorer bruges ofte til at beskrive forskydningen mellem to punkter i et koordinatsystem. Hvis vi har punkterne $A(x_1, y_1)$ og $B(x_2, y_2)$, bestemmes vektoren $\vec{AB}$ ved: $$\vec{AB} = \binom{x_2 – x_1}{y_2 – y_1}$$

Vi betragter punkterne $A(2, 1)$ og $B(8, 9)$.

  • Opgave a: Bestem koordinaterne for vektoren $\vec{AB}$.
  • Opgave b: Beregn længden af vektoren $\vec{AB}$. Længden af en vektor $\vec{v} = \binom{v_1}{v_2}$ findes ved formlen: $$|\vec{v}| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2}$$
  • Opgave c: En enhedsvektor er en vektor med længden 1. Bestem enhedsvektoren $\vec{e}_{AB}$, der har samme retning som $\vec{AB}$, ved at bruge formlen: $$\vec{e} = \frac{1}{|\vec{v}|} \cdot \vec{v}$$
  • Opgave d: Vis ved beregning, at længden af din fundne enhedsvektor fra opgave c faktisk er lig med 1.

Opgave 3: Geometrisk analyse med vektorer

I denne opgave skal du bruge din viden om vektorer til at analysere en geometrisk figur i planen. Vi har tre punkter: $A(1, 1)$, $B(7, 2)$ og $C(3, 5)$.

  • Opgave a: Bestem vektorerne $\vec{AB}$ og $\vec{AC}$.
  • Opgave b: Vi ønsker at finde et fjerde punkt $D$, således at firkant $ABDC$ danner et parallelogram. I et parallelogram skal de modstående sider være parallelle og lige lange, hvilket betyder at $\vec{AB} = \vec{CD}$. Brug denne oplysning til at finde koordinaterne til punktet $D$.
  • Opgave c: Beregn længden af de to diagonaler i parallelogrammet. Diagonalerne svarer til længden af vektorerne $\vec{AD}$ og $\vec{BC}$.
  • Opgave d: En vektor $\vec{v}$ er givet ved linearkombinationen $\vec{v} = 2 \cdot \vec{AB} – 3 \cdot \vec{AC}$. Beregn koordinaterne for $\vec{v}$. Hvordan vil du beskrive denne vektor i forhold til de oprindelige vektorer $\vec{AB}$ og $\vec{AC}$?