Opgaver i Introduktion til Trigonometri
Fag: Matematik C
Opgave 1: De trigonometriske funktioner
De trigonometriske funktioner $\sin$, $\cos$ og $\tan$ bruges til at beskrive forholdet mellem vinkler og sider i retvinklede trekanter. På lommeregnere og i it-værktøjer findes de som faste funktioner.
- Opgave a: Brug din lommeregner eller et it-værktøj til at beregne følgende værdier (sørg for, at værktøjet er indstillet til grader/Degree):
- $\sin(30^\circ)$
- $\cos(60^\circ)$
- $\tan(45^\circ)$
- Opgave b: En tømrer skal måle en vinkel på $37^\circ$. Beregn værdien af $\cos(37^\circ)$ og $\sin(37^\circ)$ med tre decimaler.
- Opgave c: Undersøg ved hjælp af lommeregneren, om det er sandt, at $\sin(20^\circ)$ giver det samme som $\cos(70^\circ)$.
Opgave 2: Bestemmelse af vinkler
Hvis vi kender værdien af sinus, cosinus eller tangens, kan vi finde selve vinklen ved at bruge de inverse (omvendte) funktioner. Disse betegnes ofte som $\sin^{-1}$, $\cos^{-1}$ og $\tan^{-1}$ (eller arcsin, arccos og arctan).
- Opgave a: Find størrelsen af vinkel $A$ i følgende tre tilfælde:
- $\sin(A) = 0{,}5$
- $\cos(A) = 0{,}707$
- $\tan(A) = 1$
Opgave 3: Enhedscirklen og den geometriske forståelse
I denne opgave skal du redegøre for de trigonometriske funktioners definition ved hjælp af enhedscirklen. Enhedscirklen er en cirkel med centrum i $(0,0)$ og en radius på $1$.
- Opgave a: Tegn (eller beskriv) en enhedscirkel i et koordinatsystem. Afsæt en vinkel $v$ i første kvadrant. Forklar, hvorfor retningspunktets koordinater kan skrives som $P(x,y) = (\cos(v), \sin(v))$.
- Opgave b: Brug din forståelse af enhedscirklen til at forklare, hvorfor værdien af både $\sin(v)$ og $\cos(v)$ altid må ligge mellem $-1$ og $1$. Hvorfor gælder denne begrænsning ikke for $\tan(v)$?
- Opgave c: I enhedscirklen gælder “Idiotreglen” (grundrelationen): $(\cos(v))^2 + (\sin(v))^2 = 1$. Forklar, hvordan denne formel hænger sammen med Pythagoras’ sætning ($a^2 + b^2 = c^2$), når man kigger på en retvinklet trekant inde i enhedscirklen.