Opgaver i Introduktion til Potensfunktioner

Fag: Matematik C

Opgave 1: Identifikation og beregning

En potensfunktion har den generelle forskrift $f(x) = b \cdot x^a$, hvor $x > 0$. Vi betragter funktionen: $$f(x) = 10 \cdot x^{1,5}$$

  • Opgave a: Angiv værdierne for konstanten $b$ og eksponenten $a$.
  • Opgave b: Beregn funktionsværdien $f(4)$.
  • Opgave c: Forklar den vigtigste forskel på opbygningen af en potensfunktion ($b \cdot x^a$) og en eksponentiel funktion ($b \cdot a^x$). Hvor er den uafhængige variabel $x$ placeret i de to typer?

Opgave 2: Sammenhæng mellem graf og eksponent

Eksponenten $a$ bestemmer formen på grafen for en potensfunktion. Vi ser på tre forskellige funktioner:

  1. $f(x) = 2 \cdot x^{2}$
  2. $g(x) = 2 \cdot x^{0,5}$
  3. $h(x) = 2 \cdot x^{-1}$
  • Opgave a: Match hver af de tre funktioner med en af følgende beskrivelser:
    • Grafen er aftagende.
    • Grafen er voksende og “krummer opad” (konveks).
    • Grafen er voksende og “krummer nedad” (konkav).
  • Opgave b: Alle tre grafer har samme $y$-værdi, når $x = 1$. Beregn dette punkt for de tre funktioner.

Opgave 3: Vækstegenskaber

En af de vigtigste egenskaber ved potensfunktioner er, at når $x$ bliver ganget med en faktor $k$, så bliver $y$ ganget med faktoren $k^a$. Dette skrives som: $$f(k \cdot x) = k^a \cdot f(x)$$

Inden for teknisk mekanik ved man, at den effekt $P$, en vindmølle producerer, er proportional med vindhastigheden $v$ i tredje potens: $$P(v) = b \cdot v^3$$

  • Opgave a: Hvis vindhastigheden fordobles (det vil sige $k = 2$), hvor mange gange større bliver den producerede effekt $P$ så?
  • Opgave b: En dag blæser det 20% kraftigere end dagen før (det vil sige $k = 1{,}20$). Beregn, hvor mange procent effekten stiger med.