Opgaver i Klassisk Geometri
Fag: Matematik C
Opgave 1: Arealer af tekniske grundformer
En tekniker skal beregne materialeforbruget til en bundplade. Pladen består af et rektangulært stykke med et cirkulært hul i midten til en gennemføring.
- Opgave a: Bundpladen har en længde på $80 , \text{cm}$ og en bredde på $50 , \text{cm}$. Beregn det samlede areal af pladen, hvis der ikke var noget hul.
- Opgave b: I midten bores et cirkulært hul med en radius på $10 , \text{cm}$. Beregn arealet af hullet (brug formlen $A = \pi \cdot r^2$).
- Opgave c: Find det resterende areal af metalpladen, når hullet er boret ud.
Opgave 2: Skala og størrelsesforhold
Når vi laver tekniske tegninger eller kigger på landkort, bruger vi målestoksforhold til at beskrive sammenhængen mellem tegningen og virkeligheden. Et målestoksforhold på $1:200$ betyder, at 1 cm på tegningen svarer til 200 cm i virkeligheden.
En arkitekt har tegnet en grundplan af et værksted i målestoksforholdet $1:50$.
- Opgave a: På tegningen er værkstedet 12 cm langt. Hvor mange meter er værkstedet i virkeligheden?
- Opgave b: En maskine i værkstedet optager et areal på 4 $\text{m}^2$ i virkeligheden. Hvor mange kvadratcentimeter ($\text{cm}^2$) fylder maskinen på tegningen? (Vær opmærksom på, at når længder skaleres med 50, skaleres arealer med $50^2$).
- Opgave c: Hvis en væg i virkeligheden er 4,5 meter lang, hvor mange centimeter skal arkitekten så tegne den på sin plan?
Opgave 3: Ligedannethed og skyggemåling
Den græske matematiker Euklid beskrev omkring år 300 f.v.t. princippet om ligedannethed. To trekanter kaldes ligedannede, hvis deres vinkler er parvis ens. En vigtig egenskab ved ligedannede trekanter er, at forholdet mellem de tilsvarende sider er konstant. Det vil sige, at hvis man kender to sider i den lille trekant og én side i den store, kan man beregne den manglende side.
Du skal bestemme højden af en skorsten på din skole uden at kravle op på den. Du placerer en lodret pind på 1,5 meter i jorden og måler dens skygge til at være 2 meter lang. Samtidig måler du, at skorstenens skygge er 24 meter lang.
- Opgave a: Redegør for, hvorfor de to trekanter (skorsten/skygge og pind/skygge) er ligedannede. (Hint: Solens stråler rammer jorden med samme vinkel begge steder).
- Opgave b: Brug Euklids princip om ligedannethed til at beregne højden af skorstenen.
- Opgave c: Forestil dig, at jorden skråner lidt der, hvor du måler pinden, men er helt flad ved skorstenen. Hvordan ville det påvirke din måling af skorstenens højde? Forklar, hvorfor præcis opmåling af grundlinjen (skyggen) er afgørende for en korrekt matematisk model.