Opgaver i Renteformlen og Rentebegreber
Fag: Matematik C
Opgave 1: Beregning af slutkapital
Renteformlen beskriver, hvordan en startkapital vokser med en fast rentesats over et antal terminer. Formlen lyder: $$K_n = K_0 \cdot (1+r)^n$$ Hvor $K_n$ er slutkapitalen, $K_0$ er startkapitalen, $r$ er renten pr. termin, og $n$ er antal terminer.
En person indsætter 12.000 kr. på en opsparingskonto til en fast årlig rente på 2,5%. Pengene står på kontoen i 6 år.
- Opgave a: Identificer værdierne for $K_0$, $r$ og $n$ ud fra teksten.
- Opgave b: Beregn slutkapitalen $K_n$ efter de 6 år.
- Opgave c: Hvor mange penge har personen tjent i rente i løbet af de 6 år?
Opgave 2: Bestemmelse af startkapital, rente og terminer
Renteformlen kan omskrives, så man kan finde de andre størrelser, hvis de øvrige er kendte.
- Opgave a: En person vil gerne have 50.000 kr. til en udbetaling om 5 år. Renten er fast på 3% pr. år. Hvor meget skal personen indsætte i dag ($K_0$) for at nå sit mål?
- Opgave b: En investering på 10.000 kr. er vokset til 14.500 kr. på 4 år. Beregn den årlige rentesats $r$ i procent.
- Opgave c: Du indsætter 20.000 kr. til en årlig rente på 4%. Opstil en ligning og beregn ved hjælp af logaritmer, hvor mange år der går, før beløbet er vokset til 30.000 kr.
Opgave 3: Effektiv rente og gennemsnitlig rente
I den finansielle verden støder man ofte på begreberne “effektiv rente” (når der er flere rentetilskrivninger pr. år) og “gennemsnitlig rente” (når renten ændrer sig år for år).
- Opgave a: En bank tilbyder en månedlig rente $r_{md}$ på 1%. Beregn den effektive årlige rente ved hjælp af formlen: $r_{eff} = (1 + r_{md})^{12} – 1$.
- Opgave b: Værdien af en aktieportefølje ændrer sig over tre år. Det første år stiger den med 10%, det andet år falder den med 5%, og det tredje år stiger den med 8%. Beregn den gennemsnitlige årlige rente $r_{g}$ for de tre år. (brug formlen $(1 + r_{g})^3 = (1+r_1)(1+r_2)(1+r_3)$).