Opgaver i Potensfunktioner

Fag: Matematik C

Emne: Potensfunktioner

Opgave 1: Karakteren 02

Emne: Identifikation og simpel beregning

En funktion er givet ved $f(x) = 4 \cdot x^{1,5}$.

  • Opgave a: Hvad er værdien for $b$, og hvad er værdien for $a$?
  • Opgave b: Beregn $f(9)$ ved at indsætte 9 på $x$’s plads.

Opgave 2: Karakteren 4

Emne: Grafisk forståelse og isolering af $x$

  • Opgave a: Du har tre funktioner:
  • $g(x) = 2 \cdot x^{0,5}$
  • $h(x) = 2 \cdot x^{1,0}$
  • $i(x) = 2 \cdot x^{2,0}$

Beskriv udseendet af hver af graferne for de tre funktioner (f.eks. krumning af graf og værdien af y for x=1).

  • Opgave b: Løs ligningen $32 = 2 \cdot x^2$ (find $x$).

Opgave 3: Karakteren 7

Emne: To-punktsformlen for potensfunktioner

Grafen for en potensfunktion går gennem punkterne $(2, 10)$ og $(8, 160)$.

  • Opgave a: Bestem stigningstallet $a$ ved hjælp af logaritme-formlen: $$a = \frac{\log(y_2) – \log(y_1)}{\log(x_2) – \log(x_1)}$$
  • Opgave b: Bestem $b$ ved hjælp af formlen: $b = \frac{y_1}{x_1^a}$.
  • Opgave c: Skriv den samlede forskrift.

Opgave 4: Karakteren 10

Emne: Vækstegenskaber for potensfunktioner

Sammenhængen mellem vægten ($W$) og længden ($L$) for en bestemt fiskeart kan beskrives ved potensfunktionen: $$W = 0,01 \cdot L^3$$

  • Opgave a: Hvis en fisk er 20% længere end en anden fisk, hvor mange procent tungere er den så?
  • Opgave b: Forklar med egne ord, hvad det betyder for en potensfunktion, at en bestemt relativ vækst af $x$ giver en bestemt relativ vækst af $y$.

Opgave 5: Karakteren 12

Emne: Teoretisk bevis og sammenligning

  • Opgave a: Bevis formlen for $a$ ud fra to punkter $(x_1, y_1)$ og $(x_2, y_2)$. Du skal bl.a. vise, hvordan man bruger logaritmer til at “hente potensen ned” og isolere $a$.
  • Opgave b: Lav en oversigt over de tre væksttyper (Lineær, Eksponentiel og Potens). Du skal forklare forskellen på deres vækstegenskaber:
  • Lineær: Absolut-Absolut.
  • Eksponentiel: Absolut-Relativ.
  • Potens: Relativ-Relativ.
  • Opgave c: Hvorfor er det nødvendigt at definere, at $x > 0$ for en potensfunktion, når $a$ ikke er et helt tal?