Opgaver i Eksponentielle ligninger
Fag: Matematik C
Opgave 1: Simple eksponentielle ligninger
En eksponentiel ligning er en ligning, hvor den ubekendte $x$ står i eksponenten i en potens. Vi bruger logaritmer til at “hente $x$ ned” fra eksponenten.
- Opgave a: Løs ligningen $1{,}05^x = 2$.
- Opgave b: Løs ligningen $200 \cdot 1,10^x = 600$ ved først at dividere med 200 på begge sider og derefter bruge logaritmen.
- Opgave c: Løs ligningen $0{,}90^x = 0{,}5$.
Opgave 2: Anvendelse
Vi har givet to funktioner: $f(x) = 500 \cdot 1{,}04^x$ og $g(x) = 800 \cdot 0{,}85^x$.
- Opgave a: Find ud af, hvornår $f(x) = 1200$. Vis alle trin i din beregning.
- Opgave b: Find ud af, hvornår $g(x) = 200$.
- Opgave c: En kapital på 10.000 kr. står på en konto med 3% i årlig rente. Opstil en ligning og beregn, hvor mange år der går, før beløbet er vokset til 15.000 kr.
Opgave 3: Skæringspunkt mellem to eksponentielle grafer
Når man skal finde skæringspunktet mellem to eksponentielle funktioner $f(x) = b_1 \cdot a_1^x$ og $g(x) = b_2 \cdot a_2^x$, skal man løse ligningen $f(x) = g(x)$.
Vi betragter funktionerne: $$f(x) = 100 \cdot 1{,}05^x$$ $$g(x) = 20 \cdot 1{,}15^x$$
- Opgave a: Find $x$-koordinaten til skæringspunktet ved beregning.
- Opgave b: Bestem $y$-koordinaten til skæringspunktet, og angiv skæringspunktets koordinater $(x, y)$.
- Opgave c: Funktionen $f$ starter højest ($b=100$), men vokser langsomst ($a=1{,}05$). Funktionen $g$ starter lavt ($b=20$), men vokser hurtigt ($a=1{,}15$). Forklar med egne ord, hvad skæringspunktet fortæller om forholdet mellem de to udviklinger. Hvilken funktion er størst før skæringspunktet, og hvilken er størst efter?