Opgaver i Determinant af Vektorer

Fag: Matematik C

Opgave 1: Beregning af determinant og tværvektor

Determinanten for et vektorpar $(\vec{a}, \vec{b})$ beregnes ofte ved hjælp af tværvektoren for den første vektor. Hvis $\vec{a} = \binom{a_1}{a_2}$, er tværvektoren $\hat{a} = \binom{-a_2}{a_1}$.

Determinanten defineres som: $$\det(\vec{a}, \vec{b}) = \hat{a} \cdot \vec{b} = a_1b_2 – a_2b_1$$

Vi betragter vektorerne $\vec{a} = \binom{3}{1}$ og $\vec{b} = \binom{2}{4}$.

  • Opgave a: Bestem koordinaterne til tværvektoren $\hat{a}$.
  • Opgave b: Beregn determinanten $\det(\vec{a}, \vec{b})$ ved at bestemme prikproduktet af $\hat{a}$ og $\vec{b}$.
  • Opgave c: Beregn determinanten for det omvendte par, $\det(\vec{b}, \vec{a})$, og beskriv hvad der sker med resultatet.

Opgave 2: Fortegn, orientering og areal

Determinantens fortegn fortæller os om orienteringen af vektorparret, altså hvilken vej man skal dreje for at komme fra den første vektor til den næste.

  • Opgave a: Givet vektorerne $\vec{u} = \binom{5}{0}$ og $\vec{v} = \binom{2}{3}$. Beregn $\det(\vec{u}, \vec{v})$. Vurder hvilken vej man drejer, når man går fra vektor $\vec{u}$ til vektor $\vec{v}$.
  • Opgave b: Hvis $\det(\vec{a}, \vec{b}) < 0$, er parret negativt orienteret. Tegn et eksempel på to vektorer i et koordinatsystem, hvor determinanten vil blive negativ (hvor man drejer med uret fra den første til den anden vektor).
  • Opgave c: Determinanten er tæt knyttet til geometri. Arealet $T$ af det parallelogram, som to vektorer udspænder, er givet ved den absolutte værdi (numeriske værdi) af determinanten: $T = |\det(\vec{a}, \vec{b})|$. Beregn arealet af det parallelogram, der udspændes af $\vec{a} = \binom{6}{2}$ og $\vec{b} = \binom{1}{4}$.

Opgave 3: Vinkelbestemmelse vha. sinus

Hvor skalarproduktet er knyttet til cosinus, er determinanten knyttet til sinus til vinklen $v$ mellem de to vektorer: $$\det(\vec{a}, \vec{b}) = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \sin(v)$$

Dette gør det muligt at finde vinklen med fortegn.

Vi betragter vektorerne $\vec{a} = \binom{4}{1}$ og $\vec{b} = \binom{-2}{5}$.

  • Opgave a: Beregn determinanten $\det(\vec{a}, \vec{b})$ og længderne af de to vektorer, $|\vec{a}|$ og $|\vec{b}|$.
  • Opgave b: Bestem værdien for $\sin(v)$ ved at isolere den i formlen ovenfor.
  • Opgave c: Brug din lommeregner ($\sin^{-1}$) til at finde vinklen $v$. Hvis determinanten er positiv, er vinklen positiv (drejning mod uret). Hvis determinanten er negativ, er vinklen negativ.
  • Opgave d: Redegør for, hvorfor determinanten er 0, hvis to vektorer er parallelle. Hvordan passer dette med sinus-formlen?